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up::espace vectoriel title::"$\mathcal{N}(x)=0 \implies x=0$", "$\forall (\lambda, x)\in \mathbf{K}\times E, \mathcal{N}(\lambda x)=|\lambda|\mathcal{N}(x)$", "$\forall (x,y)\in E^{2}, \mathcal{N}(x+y)\leq \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y)$" #maths/algèbre
[!definition] Norme Soit
\mathbf{K}un corps commutatif muni d'une valeur absolue SoitEun $\mathbf{K}$-espace vectoriel Une norme surEest une application\mathcal{N}deE \to \mathbf{K}qui satisfait :
- espace séparé :
\forall x \in \mathbf{E}, \quad \mathcal{N}(x) = 0 \implies x = 0_{E}
- la réciproque (logique) est vraie aussi
- absolue application homogène :
\forall (\lambda, x) \in K \times E, \quad \mathcal{N}(\lambda x) = |\lambda|\mathcal{N}(x)- inégalité triangulaire (application sous-additive) :
\forall (x, y) \in \mathbf{E}^{2}, \quad \mathcal{N}(x + y) \leq \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y)^definition
[!definition] Norme d'un vecteur Soit
\vec{v} \in \mathbb{R}^{n}un vecteur On note\|\vec{v}\|la norme de\vec{v}, et on a :\|\vec{v}\| = \sqrt{ \sum\limits_{k=1}^{n} (\vec{v}_{k})^{2} }
Propriétés
- La norme est toujours positive
- inégalité triangulaire :
\|a+b\| \leq \|a\|+\|b\|