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anneau	#s/maths/algèbre

[!definition] Définition - à partir d'un anneau Soit (A, +, \times) un anneau On dit que (A, +, \times) est un anneau commutatif si \times la loi produit est commutativité ^definition

[!définition] Un ensemble A muni des lois + et \times est un anneau commutatif ssi :

• (A, +) est un groupe abélien
  • + est associativité, commutativité
  • il y a un élément neutre pour +
  • tous les éléments sont éléments inversibles par +
• (A, \times) est un monoïde commutativité
  • \times est associativité et commutativité
  • il y a un élément neutre pour \times
• \forall (x; a; b) \in A, \quad x \times (a + b) = (x \times a) + (x \times b)

Propriétés

[!proposition]+ Propriétés de base Soit a \in A

• a \times 0 = 0 \times a = 0
  • dem a \times 0 = a \times (0 + 0) = (a\times 0) + (a\times 0) d'où suit que 0 = a \times 0. Il suit par commutativité que 0 \times a = 0

[!proposition]+ Soit A un anneau commutatif Soit I \neq A un idéaux d'un anneau de A I idéal premier d'un anneau commutatif \iff A /I anneau intègre

[!info] En particulier \begin{align} \{ 0 \} \text{ est premier} &\iff A /\{ 0 \} \text{ est intègre} \\&\iff A \text{ est intègre}\end{align}

[!proposition]+ Soit A un anneau commutatif Soit I \neq A un idéaux d'un anneau de A I idéal maximal d'un anneau commutatif \iff A /I est un corps

[!proposition]+ Soit A un anneau commutatif Soit I \neq A un idéaux d'un anneau de A I idéal maximal d'un anneau commutatif \implies I nombre premier

Exemples