cours/groupe des matrices rationnelles inversibles carrées de taille 2.md

up:: groupe, inverse d'une matrice #s/maths/algèbre

[!definition] Définition L'ensemble SL_{2}(\mathbb{Z}) des matrices 2\times 2 d'entiers de déterminant 1 est un groupe pour la loi \times ^definition

[!démonstration]

• SL_{2}(\mathbb{Z}) \ni Id_2 donc SL_2(\mathbb{Z}) \neq \emptyset
• \times est une loi de composition interne car + et \times sont des lci sur \mathbb{Z}
• x est associative, par associativité sur GL_2(\mathbb{R}) (et car SL_2(\mathbb{Z}) \subset GL_2(\mathbb{R}))
• Id_2 est l'élément neutre pour x
• Soit M = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{Z}), on veut montrer que M^{-1} \in SL_2(\mathbb{Z})
  • On a bien \det(M^{-1}) = (\det M)^{-1} = 1 ^{-1} = 1
  • On a M^{-1} = \frac{1}{\det M}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}, qui est bien à coefficients entiers
  • donc on a bien \forall M \in SL_2(\mathbb{Z}), \quad M^{-1} \in SL_2(\mathbb{Z})