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up:: distance distance entre deux droites dans l'espace title:: #s/maths/géométrie
Soit d une droite dirigée par \vec{v} et passant par A
Soit d' une droite dirigée par \vec{v}' et passant par B
On sait que la distance doit être mesurée sur une droite perpendiculaire à d et à d'.
Or, on sait qu'un vecteur orthogonal à \vec{v} et \vec{v}' est le produit vectoriel \vec{v} \wedge \vec{v}'.
Soient M\in d et N \in d' les deux points les plus proches sur d et d' (la distance entre d et d' est donc MN), on a :
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NB}
Or, les projetés de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{NB} sur \vec{v} \wedge \vec{v}' sont \vec{0}, donc le projeté de \overrightarrow{AB} sur \vec{v} \wedge \vec{v}' est \overrightarrow{MN}
Or, le projeté orthogonal d'un vecteur sur un autre correspond au produit scalaire.
Pour cela, on normalise \vec{v}\wedge\vec{v}' en \frac{1}{\|\vec{v}\wedge\vec{v}'\|}\vec{v}\wedge\vec{v}'
Donc : \displaystyle\|\overrightarrow{MN}\| = \left| \overrightarrow{AB} \cdot \left( \frac{1}{\| \vec{v} \wedge \vec{v}' \|} \vec{v} \wedge \vec{v}' \right) \right|