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up:: [[propriété vraie presque partout]]
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#s/maths/intégration
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> [!definition] Définition
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> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
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> Soient $f$ et $g$ des applications définies sur $E$
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> $f$ et $g$ sont **égales $\mu$ presque partout** si $\{ f(x) \neq g(x) \mid x \in E \}$ est négligeable
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ comparaisons presque partout et intégrales
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> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
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> Soient $f$ et $g$ deux fonctions mesurables positives
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> - Si $f\leq g$ $\mu$-presque partout, alors $\displaystyle \int_{E} f \, d\mu \leq \int_{E} g \, d\mu$
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> - Si $f = g$ $\mu$-presque partout, alors $\displaystyle\int_{E} f \, d\mu = \int_{E} g \, d\mu$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $f = f\mathbb{1}_{\{ f \leq g \}} + \underbrace{f\mathbb{1}_{\{ f > g \}}}_{\substack{\text{négligeable car }\\ \mu(\{ f > g \}) = 0}}$
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> > De là suit que :
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> > $\displaystyle \int_{E} f \, d\mu \leq \int_{E} g\mathbb{1}_{f \leq g} \, d\mu + \underbrace{\int_{E} g \mathbb{1} _{\{ f > g \}}\, d\mu}_{=0}$
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> >
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> [!proposition]+ intégrabilité
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> Soient $f$ et $g$ deux fonctions mesurables à valeurs dans $\mathbb{C}$
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> Si on a $f = g$ $\mu$-presque partout, alors
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> $f \text{ est intégrable} \iff g \text{ est intégrable}$
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# Exemples
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