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up:: propriété vraie presque partout #s/maths/intégration

[!definition] Définition Dans l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Une application f définie sur E est négligeable si \{ x \in E \mid f(x) \neq 0 \} est négligeable, c'est-à-dire si f est nulle propriété vraie presque partout ^definition

Propriétés

[!proposition]+ négligeablilité et intégrabilité Soit f une fonction mesurable. f est négligeable \iff \displaystyle\int_{E} |f| \, d\mu = 0

[!démonstration]- Démonstration

• Supposons f négligeable et fixons n \in \mathbb{N}^{*} Alors \min (|f|, n) \leq n \mathbb{1}_{\{ |f| \neq 0 \}} Et par passage à l'intégrale : \displaystyle \int_{E} \underbrace{\min(|f|, n)}_{g_{n}} \, d\mu \leq n \underbrace{\mu(\{ f \neq 0 \})}_{=0} = 0 On sait que la suite (g_{n}) définie par g_{n} = \min(|f|, n) est une suite croissante de fonctions mesurables positives. Par le théorème de convergence monotone des intégrales, on a donc : \displaystyle \int_{E} |f| \, d\mu = \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} \, d\mu = \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{E} g_{n} \, d\mu = 0

• Réciproquement, soit n \in \mathbb{N}^{*} \displaystyle \mu\left( \left\{ |f| \geq \frac{1}{n} \right\} \right) \leq n \int_{E} |f| \, d\mu = 0 \forall n \in \mathbb{N}^{*},\quad \{ |f| \neq 0\} \subset \left\{ |f| \geq \frac{1}{n} \right\} Mais \displaystyle\{ |f| \neq 0 \} = \bigcup _{n \in \mathbb{N}^{*}} \left\{ |f| \geq \frac{1}{n} \right\} Donc \mu(\{ |f| \neq 0 \}) \leq \sum\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \underbrace{\mu\left( \left\{ |f| \geq \frac{1}{n} \right\} \right)}_{= 0} \leq 0 Donc, on a bien \mu(\{ |f| \neq 0 \}) = 0

Exemples

[!example] \mathbb{1}_{\mathbb{Q}} \mathbb{1}_{\mathbb{Q}} est null \lambda presque partout car \lambda(\mathbb{Q}) = 0 (mesure de Lebesgue) Mais \mathbb{1}_{\mathbb{Q}} n'est pas négligeable pour \delta_0 : \delta_0(\mathbb{Q}) = 1 (mesure de Dirac)