cours/distances équivalentes.md

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	distance	normes équivalentes	s/maths/topologie

[!definition] Définition Soient (X, d_1) et (X, d_2) deux espace métrique Les distance d_1 et d_2 sont dites équivalentes si : \exists a, b >0,\quad \forall x, y \in X,\quad a\cdot d_1(x, y) \leq d_2(x, y) \leq b\cdot d_1(x, y) ^definition

Propriétés

[!proposition]+ équivalence des limites Soient (X, d_1) et (X, d_2) deux espace métrique tels que d_1 et d_2 soient équivalentes \boxed{\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = \ell \text{ dans } (X, d_1) \iff \lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = \ell \text{ dans } (X, d_2)} Autrement dit, si (x_{n}) suite convergente, alors elle à la même limite dans (X, d_1) et dans (X, d_2)

[!démonstration]- Démonstration Comme d_1 et d_2 sont équivalentes, on sait qu'il existe A, B>0 tels que pour tout x, y \in X on aie A d_1(x, y) \leq d_2(x, y) \leq B d_1(x, y) Ainsi, si \lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = \ell dans (X, d_1), alors on a 0 \leq d_2(x_{n}, \ell) \leq B d_1(x_{n}, \ell). Or le terme de droite tend vers 0, donc, par encadrement, on a \lim\limits_{ n \to \infty } d_2(x_{n}, \ell) = 0 et donc \lim\limits_{ n \to \infty } x_{n} = \ell

Comme la relation d'équivalence des distances est relation symétrique, on sait qu'il suffit d'inverser le rôle de d_1 et d_2 dans la démonstration précédente pour obtenir l'implication inverse.

De là on sait que \lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} =\ell \text{ dans } (X, d_1) \iff \lim\limits_{ n \to \infty } x_{n} = \ell \text{ dans } (X, d_2)

[!proposition]+ des normes équivalentes induisent des distances équivalentes Soient \|\cdot\|_{1} et \|\cdot\|_{2} deux normes équivalentes Les distances d_1 et d_2 induites par ces normes sont aussi équivalentes

Exemples