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up::pgcd sibling:: algorithme d'euclide title:: "pour trouver des coefficients de Bézout" #maths/arithmétique
Soit l'équation 13x + 9y = 108
- l'équation est déjà simplifiée
On calcule \mathrm{pgcd}(13; 9) avec l'algorithme d'euclide :
\color{orange}13 = 1\times 9 + 4
\color{green}9 = 2 \times 4 + 1
4 = 4 \times 1 + 0 --> Donc pgcd(13; 9) = 1
On cherche à trouver une solution particulière à l'équation.
Pour cela, on part de l'avant dernière ligne de l'algorithme d'euclide :
9 = 2\times 4 + \underbrace{1}_{\text{reste}}
On sait que le reste divise 108 (car si \mathrm{pgcd}(a, b) \not\mid c, ax+by=c n'a aucune solution)
On pose :
1 = 9 - 2\times 4 (car on à vu que \color{green}9=2\times 4+1)
108 = 108\times 9 - 2\times 108 \times 4
on remplace 4 par 13 - 9 (car on à vu que \color{orange}13 = 1\times 9 + 4)
108 = 108 \times 9 - 216 \times (13 - 9)
on regroupe les termes multiples de 13 et de 9 (nos coefficients)
108 = -216\times 13 + 324\times 9
on remplace 108 par 13x + 9y (car on veut 13x+9y = 108)
13x + 9y = -216\times 13 + 324\times 9
on regrouppe les facteurs de 13 et de 9 :
13(x+216) = 9(324 - y)
On a donc 13(x+216) \mid 9(324 - y) \implies 13 \mid 9(324 - y)
Puisque 13 et 9 sont premiers entre eux, on a 13\mid 324-y
donc :
\exists k \in \mathbb{Z}, 324 - y = 13k
y = -13k + 324
Ensuite, puisque 13(x+216) = 9(324 - y), on peut trouver x :
13(x+216) = 9 \times 13k
x+216 = 9k (on simplifie par 13)
x = 9k - 216
Donc, les solutions sont de la forme :
\begin{cases}x = 9k - 216\\ y = -13k + 324\end{cases}
les solutions sont :
S = \{ (9k - 216; -13k+324) \mid k \in \mathbb{Z} \}