cours/fonctions égales presque partout.md

up:: propriété vraie presque partout #s/maths/intégration

[!definition] Définition Dans l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Soient f et g des applications définies sur E f et g sont égales \mu presque partout si \{ f(x) \neq g(x) \mid x \in E \} est négligeable ^definition

Propriétés

[!proposition]+ comparaisons presque partout et intégrales Dans l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Soient f et g deux fonctions mesurables positives

• Si f\leq g $\mu$-presque partout, alors \displaystyle \int_{E} f \, d\mu \leq \int_{E} g \, d\mu
• Si f = g $\mu$-presque partout, alors \displaystyle\int_{E} f \, d\mu = \int_{E} g \, d\mu

[!démonstration]- Démonstration f = f\mathbb{1}_{\{ f \leq g \}} + \underbrace{f\mathbb{1}_{\{ f > g \}}}_{\substack{\text{négligeable car }\\ \mu(\{ f > g \}) = 0}} De là suit que : \displaystyle \int_{E} f \, d\mu \leq \int_{E} g\mathbb{1}_{f \leq g} \, d\mu + \underbrace{\int_{E} g \mathbb{1} _{\{ f > g \}}\, d\mu}_{=0}

[!proposition]+ intégrabilité Soient f et g deux fonctions mesurables à valeurs dans \mathbb{C} Si on a f = g $\mu$-presque partout, alors f \text{ est intégrable} \iff g \text{ est intégrable}

Exemples