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aliases:
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- deux fois différentiable
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- "[[différentielle]]"
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tags:
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- s/maths/analyse
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> [!definition] Définition
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> Soit $f : \Omega \to F$ différentiable en tout point de $\Omega$
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> On dit que $f$ est **deux fois différentiable** en $x \in \Omega$ si :
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> $\mathrm{d}f : \Omega \to \mathscr{L}(E, F)$ est différentiable en $x$.
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> On appelle alors **différentielle seconde** de $f$ en $x$ l'application :
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> $\begin{align} \mathrm{d}^{2}f(x) : E^{2} \to F \end{align}$
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> Et on montre aisément que $\mathrm{d}^{2}f(x)$ est [[forme bilinéaire|bilinéaire]], ce que l'on note : $\mathrm{d}^{2}f(x) \in \mathscr{L}(E^{2}, F)$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> Si $f : \Omega \to F$ est différentiable en tout point de $\Omega$
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> Si sa différentielle $\begin{align} \mathrm{d}f : \Omega &\to \mathscr{L}(E, F) \\ x &\mapsto \mathrm{d}f(x) \end{align}$ est différentiable en $x \in \Omega$
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> Alors la différentielle de $\mathrm{d}f$ en $x$ est une [[application linéaire]] de $E \to \mathscr{L}(E, F)$
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> Autrement dit : $\mathrm{d}(\mathrm{d}f)(x) \in \mathscr{L}(E, \mathscr{L}(E, F))$
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>
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> Soit $h \in E$ :
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> $\mathrm{d}(\mathrm{d}f)(x)(h) \in \mathscr{L}(E, F)$
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> Soit $k \in E$ :
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> $\left[ \mathrm{d}(\mathrm{d}f)(x)(x) \right](k) \in F$
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> [!proposition]+ Théorème de Schwarz
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> Soit $f : \Omega \to F$ deux fois différentiable en $x \in \Omega$
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> Alors l'[[application bilinéaire]] $\mathrm{d}^{2}f(x)$ est symétrique :
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> $\mathrm{d}^{2}f(x)(a, b) = \mathrm{d}^{2}f(x)(b, a)$
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## Cas $E = \mathbb{R}^{n}$
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> [!proposition]+ Théorème
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> Soit $f : \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \to F$ de [[classe d'une fonction|classe]] $\mathscr{C}^{1}$
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> Alors $f$ est de classe $\mathscr{C}^{2}$ si et seulement si ses [[dérivée partielle|dérivées partielles]] sont de [[classe d'une fonction|classe]] $\mathscr{C}^{1}$ sur $\Omega$
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> Et on a alors :
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> $\dfrac{ \partial^{2} f }{ \partial x_i \partial x_{j} }(x) = \mathrm{d}^{2}f(x)(e_{i}, e_{j})$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On sait qu'un fonction est de classe $\mathscr{C}^{1}$ ssi ses [[dérivée partielle|dérivées partielles]] existent et sont continues.
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> > On a donc d'un part que $\mathrm{d}f$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$ ssi ses dérivées partielles $\frac{ \partial }{ \partial x_{i} }(\mathrm{d}f)$ existent et sont continues.
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> > D'autre part, on a que $\displaystyle\frac{ \partial f }{ \partial x_{j} }$ est de [[classe d'une fonction|classe]] $\mathscr{C}^{1}$ ssi ses dérivées partielles $\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial x_{i} }\left( \frac{ \partial f }{ \partial x_{j} } \right)$ existent et sont continues.
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> > Il suffit donc que démontrer, pour tout $i$, que $\left[ \frac{ \partial }{ \partial x_{i} }(\mathrm{d}f)\right](x)$ existe si et seulement si $\frac{ \partial }{ \partial x_{i} }\frac{ \partial f }{ \partial x_{j} }(x)$ existe pour tout $j$ et qu'on a alors $\displaystyle\left[ \frac{ \partial }{ \partial x_{i} }(\mathrm{d}f) \right](x) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\left( \frac{ \partial^{2} f }{ \partial x_{i} \partial x_{j} }(x) \mathrm{d}x_{j} \right)$
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> >
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> > - i Le reste de la preuve prends 1h30 de cours, ce qui la rend trop longue pour tenir dans cette marge. Voici donc une solution de l'hypothèse de Riemann : $\zeta(s) = 0 \implies s = \zeta ^{-1}(0)$
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# Exemples
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