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[!proposition]+ Soit f : A \subset (X, d) \to (Y, \delta) une application Soient a \in \overline{A} et \ell \in Y Alors : \lim\limits_{ x \to a } f(x) = \ell \iff \forall (x_{n}) \in A^{\mathbb{N}},\quad \lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = a \implies \lim\limits_{ n \to \infty }f(x_{n})=\ell autrement dit : f(x) \xrightarrow{x \to a}\ell \iff \forall (x_{n})\in A^{\mathbb{N}},\quad x_{n} \xrightarrow{n \to +\infty}a \implies f(x_{n}) \xrightarrow{n \to +\infty} \ell ou encore : f converge vers \ell en a si et seulement si pour toute suite x_{n} de A qui converge vers a, la suite f(x_{n}) converge vers \ell

[!démonstration]- Démonstration

Supposons \lim\limits_{ x \to a }f(x) = \ell Soit (x_{n}) une suite de A telle que \lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = a Soit \varepsilon>0, il existe \eta>0 tel que \forall x \in A,\quad d(x, a)\leq\eta \implies d(f(x), \ell) \leq \varepsilon Comme \lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = a, il existe n_0\in\mathbb{N} tel que d(x_{n}, a)< \eta pour tout n \geq n_0 Ainsi, pour n \geq n_0, on a d(f(x_{n}), \ell) \leq \varepsilon, c'est-à-dire que \lim\limits_{ n \to \infty }f(x_{n}) = \ell La caractérisation séquentielle est donc vraie

Supposons que \ell ne soit pas limite de f en a On a alors : \exists \varepsilon>0,\quad \forall \eta>0,\quad \exists x \in A,\quad d(x, a) \leq \eta \wedge d(f(x), \ell) > \varepsilon ainsi, en particulier, pour \eta = \frac{1}{n} il existe x_{n} \in A tel que d(x_{n}, a)\leq \frac{1}{n} et d(f(x_{n}), \ell) > \varepsilon. Donc \lim\limits_{ n \to \infty } x_{n} = a et (f(x_{n})) ne converge pas vers \ell. Il existe donc une suite (x_{n}) de A qui converge vers a mais telle que (f(x_{n})) ne converge pas vers \ell. La caractérisation séquentielle est donc fausse

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