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	anneau	s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soit (A, +, \cdot) un anneau On dit qu'il est principal si :

1. A est anneau intègre
2. tout idéaux d'un anneau est idéal principal
   • c'est-à-dire : \forall I \text{ idéal de } A,\quad \exists a \in A,\quad I = (a) = aA ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Soit A un anneau principal Soit I \neq \{ 0 \} un idéaux d'un anneau de A Alors : I est idéal premier d'un anneau commutatif \iff I est idéal maximal d'un anneau commutatif

[!démonstration]- Démonstration

• I maximal \implies I premier
• I premier \implies I maximal Supposons que I est premier, et montrons que I est maximal. Soit J un idéal de A tel que I \subset J Puisque A est principal, \exists p, q \in A,\quad \begin{cases} I = pA\\ J = qA \end{cases} On a donc pA \subset qA et, en particulier : p \in qA, c'est-à-dire : \exists a \in A ,\quad p = qa \in I Or, I est premier, donc on en déduit que q \in I ou a \in I
  • cas q \in I Dans ce cas, puisque I est absorbant (par définition), on sait que qA \subset I \subset J, or qA = J, on a donc bien I = J
  • cas a \in I Alors il existe b \in A tel que a = pb donc p = qa = qpb A est commutatif, donc p(1 - qb) = 0 A est intègre, donc on a soit p = 0, soit 1 - qb = 0. Mais pas p = 0 car I \neq \{ 0 \}, donc on a 1 - qb = 0 \iff qb = 1_{A} \implies 1_{A} \in J d'où suit que J = A Donc J est maximal

Exemples

• \mathbb{Z} est principal