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up:: bijection, groupe #s/maths/algèbre

[!definition] Soient E et F deux ensembles. On note \mathrm{Bij}(E, F) l'ensemble des bijection de E \to F. Il forme un groupe avec la composition de fonctions \circ ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Groupe des bijections Soit E un ensemble L'ensemble des bijections de E \to E, c'est-à-dire \mathrm{Bij}(E) = \mathrm{Bij(E, E)} est un groupe avec la composition de fonctions

\boxed{(\mathrm{Bij}(E), \circ) \quad \text{est un groupe}}

[!démonstration]- Démonstration On note B = \operatorname{Bij}(E)

• La loi \circ est stable sur B En effet, on sait que la composée de deux bijection est aussi une bijection.
• \mathrm{id} est l'élément neutre du groupe des bijections En effet, \mathrm{id} est une bijection, donc \mathrm{id} \in B \forall f \in B,\quad \mathrm{id} \circ f = f \circ \mathrm{id} = f par définition de \mathrm{id} Donc \mathrm{id} est bien le neutre de B
• Tout élément de B possède un inverse par \circ dans B Soit f \in B, on sait que f possède toujours une application réciproque, puisque f est une bijection. Et on sait que cette application réciproque f^{-1} est aussi une bijection, et donc que f^{-1} \in B. Or, on a bien f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \mathrm{id} puisque f et f ^{-1} sont des bijections. Donc, tout élément f \in B possède un inverse f^{-1} \in B pour la loi \circ
• La loi \circ est associative sur B Soient f, g, h \in B \begin{align} \forall e \in E,\quad ((f \circ g) \circ h)(e) &= (f \circ g)(h(e)) \\&= f(g(h(e))) \\&= f((g \circ h)(e)) \\&= (f \circ (g \circ h))(e) \end{align} Donc, (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) Autrement dit, \circ est associative sur B

De là suit que (B, \circ) = (\operatorname{Bij}(E), \circ) est bien un groupe. ^groupe-bijections

Exemples