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up:: MOC ensembles title:: "E^{F} = \prod\limits_{e \in E} F (produit cartésien)" #maths/ensembles

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[!definition] Exponentiation ensembliste Soient E et F deux ensembles On note E^{F} l'ensemble des application de F \to E Formellement E^{F} = \prod\limits_{e \in E} F, un ensemble de famille indexées (\prod\limits représente des produit cartésien) alors E^{F} = f(F) ^definition ‹

Exemples

• \mathbb{R}^{\mathbb{N}} est l'ensemble des suites réelles

Propriétés

• \left| E^{F} \right| = |E|^{|F|}
  • \emptyset^{E} = \emptyset si E \neq \emptyset (cohérent avec les nombres)
  • pour tout F, il y a une seule application de \emptyset \to F, donc F^{\emptyset} est toujours un singleton