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up::[[MOC arithmétique]]
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#maths/arithmétique
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> [!definition] Division euclidienne
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> Soient $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{N}^*$, il existe des entiers $(q,r)\in\mathbb{Z}$ tels que $\fbox{a = bq+r}$ avec $0\leq r\leq b$
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> On montre que le couple $(q, r)$ est [[division euclidienne#Unicité du quotient et du reste|unique]].
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> On appelle $q$ le **quotient**, et $r$ le **reste**, de la division de $a$ par $b$
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# Propriétés
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- $b$ [[divisibilité|divise]] $a$ ssi. le reste de $a$ divisé par $b$ est nul ($r=0$)
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# Démonstrations
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## Unicité du quotient et du reste
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On utilise une [[démonstration par l'absurde]].
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Soit $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{N}^*$
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On suppose qu'il existe $q, r$ et $q', r'$ deux quotients et restes tels que :
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- $(q, q')\in\mathbb{Z}^2$
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- $(r, r')\in\mathbb{N}^2$
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- $r \in [\![ 0; b[\![$ et $r'\in[\![0; b'[\![$
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