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aliases:
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- signature
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up::[[permutation]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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> Soit $s$ une [[permutation]].
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> Soit $k$ le nombre de [[transposition|transpositions]] dans la [[décomposition en produit de transpositions]] de s.
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> La _signature_ de $s$ est $\varepsilon(s) = (-1)^k$, soit $\varepsilon(s) = \left\{\begin{gathered}1\text{ si } k\in2\mathbb Z\\ -1\text{ sinon}\end{gathered}\right.$
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^definition
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# Propriétés
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- la signature de la composée est le produit des signatures
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- Soient $s$ et $s'$ deux permutations, $\varepsilon$
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- la signature d'un [[k-cycle]] est $(-1)^{p-1}$
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- Signature d'une transposition : $(-1)^1 = -1$
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- Signature d'un 3-cycle : $(-1)^3 = 1$
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- Signature d'un 4-cycle : $(-1)^4 = -1$
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- $\vdots$
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- Signature d'un p-cycle : $(-1)^{p-1}$
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> [!proposition]+ La signature est un morphisme
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> La fonction $\varepsilon$ qui à une permutation associe sa signature :
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> $\varepsilon : \mathfrak{S}_{n} \to \{ -1; 1 \}$
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> est un [[morphisme]] [[injection|injectif]] de $(\mathfrak{S}_{n}, \circ) \to (\{ -1; 1 \}, \times)$.
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> Le [[noyau d'un morphisme de groupes|noyau de ce morphisme]] est $\mathfrak{A}_{n}$ le [[groupe alterné]]
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# Exemple
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> [!example] Exemple
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> Soit $s = (1, 4, 7, 2, 8, 3, 5, 6)$ (ici, $s$ est un [[k-cycle|8-cycle]])
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> La [[décomposition en produit de transpositions]] de $s$ est :
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> $s = (1,4)\circ(4, 7)\circ(7,2)\circ(2,8)\circ(8,3)\circ(3,5)\circ(5,6)\circ(6,1)$
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# Méthodes de calcul
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Soit $\sigma\in\mathfrak S_7$
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$\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ 1 & 7 & 6 & 4 & 3 & 5 & 2\end{pmatrix}$
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## Première méthode
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Soit $I(\sigma)$ le [[nombre d'inversions d'une permutations|nombre d'inversions]] de $\sigma$, $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{I(\sigma)}$
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Il y a 12 inversions dans $\sigma$ (voir [[nombre d'inversions d'une permutations]]/méthode de calcul)
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## Deuxième méthode
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$\displaystyle\varepsilon(\sigma) = \prod_{1\leq i < j \leq n}\frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j}$
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Dans notre cas, $\varepsilon(\sigma) = \dfrac{(-6)\times(-5)\times(-3)\times(-2)\times(-4)\times(-1)\times1\times3\times4\times2\times5\times2\times3\times1\times4\times1\times(-1)\times2\times(-2)\times1\times3}{(-1)\times(-2)\times(-3)\times(-4)\times(-5)\times(-6)\times(-1)\times(-2)\times(-3)\times(-4)\times(-5)\times(-1)\times(-2)\times(-3)\times(-4)\times(-1)\times(-2)\times(-3)\times(-1)\times(-2)\times(-1)}=-1$
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## Troisième méthode
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Si on fait la [[décomposition en produit de transpositions]] de $\sigma$, et que l'on note $t$ le nombre de [[transposition|transpositions]] dans cette décomposition, on aura :
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$\varepsilon(\sigma) = (-1)^t$
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Dans notre cas,
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$\sigma = (2,7)\circ(3,6,5) = (2,7)\circ(3,6)\circ(6,5)$
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Il y a 3 transpositions dans la décomposition en composée de transpositions, donc :
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$\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$
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