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alias: [ "racine", "racines" ]
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up: "[[polynôme]]"
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tags: "#s/maths/analyse"
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> [!definition] Définition
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> Soit $K$ un [[corps]]
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> Soit $P \in K[X]$ un [[polynôme]]
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> $a$ est une **racine de multiplicité $k \in \mathbb{N}^{*}$** (ou d'ordre $k$) de $P$ si :
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> $\begin{cases} (X - a)^{k} \mid P \\ (X - a)^{k+1} \nmid P \end{cases}$
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^definition
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> [!definition]
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> Les _racines_ d'un [[polynôme]] $P$ sont les valeurs $r$ telles que $P(r) = 0$
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> L'ensemble des racines du [[polynôme]] $P$ défini sur $I$ est donc $\{r\in I| P(r) = 0\}$
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> [!definition] ordre d'une racine d'un polynôme
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> Soit $P$ un [[polynôme]]
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> Soit $r$ une [[racines d'un polynôme|racine]] de $P$
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> l'**ordre** de $r$ est le plus grand $n$ tel que $r$ est une racine de $P^{(n-1)}$ ([[dérivées successives|dérivée n-ème de P]])
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> C'est aussi le plus petit $n$ tel que $P^{(n)}(r) \neq 0$
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> Sous forme factorisée, c'est la puissance du terme qui s'annule en $r$
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^definition
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> [!definition]
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> Soit $P$ un [[polynôme]] de [[polynôme#Degré|degré]] $n$
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> On sait que $P(x) = \prod\limits_{k=0}^{n} (x - a_{k})$ (forme factorisée)
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> Où $a_k$ une suite dont les valeurs sont les [[racines d'un polynôme|racines]] de $P$
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> Une racine $r$ est de **multiplicité** $m$ si elle apparaît *exactement* $m$ fois dans les coefficients $a_{k}$ (pour $k\in[\![1;n]\!]$)
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> Soit si elle apparaît $m$ fois dans la factorisation de $P$
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Racine simple
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> Une racine est simple ssi sa _multiplicité_ est 1
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> [!proposition]+ [[théorème de d'Alembert-Gauss]]
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> [!proposition]+ Dérivation
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> Soit $r$ une _racine_ du polynôme $P$
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> La racine $r$ est de [[multiplicité d'une racine|multiplicité]] $n$ si et seulement si $r$ est aussi racine de la [[dérivées successives|dérivée n-ème]] de $P$ :
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> $r \text{ est de multiplicité } n \iff P^{(n)}(r)=0$
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> On peut utiliser cette propriété pour **trouver la multiplicité d'une racine**
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