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up: "[[algèbre]]"
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tags: "#s/maths/algèbre"
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L'ensemble $\mathbb{H}$ des quaternions peut être défini comme l'[[algèbre associative]] sur le [[corps]] des nombres réels $\mathbb{R}$ engendrée par les 3 éléments $i$, $j$ et $k$, satisfaisant les [[quaternions#Relations quaternioniques]] : $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$.
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# Définitions
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On peux définir les quaterions comme l'ensemble : $\mathbb{H} = \left\{\left.\begin{pmatrix}y&z\\-\overline{z}&\overline{y}\end{pmatrix} \right| (y, z)\in\mathbb{C}^2\right\}$ muni de la [[multiplication de matrices]].
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On peux alors montrer les rela
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# Propriétés
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## Relations quaternioniques
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- $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$
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## [[table de cayley]] des quaternions
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| $\times$ | | $\mathbb 1$ | $i$ | $j$ | $k$ |
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| ---------- | --- | ----------- | ----------- | ----------- | ----------- |
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| $\mathbb1$ | | $\mathbb1$ | $i$ | $j$ | $k$ |
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| $i$ | | $i$ | $-\mathbb1$ | $k$ | $-j$ |
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| $j$ | | $j$ | $-k$ | $-\mathbb1$ | $i$ |
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| $k$ | | $k$ | $j$ | $-i$ | $-\mathbb1$ |
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# Exercice
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L'ensemble des quaternions est l'ensemble :
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$\mathbb{H} = \left\{\left.\begin{pmatrix}y&z\\-\overline{z}&\overline{y}\end{pmatrix} \right| (y, z)\in\mathbb{C}^2\right\}$
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On note $\mathbb{H}^*$ l'ensemble $\mathbb{H}$ privé de $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
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On pose :
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$\mathbb{1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, $i = \begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}$, $j=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, $k=\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}$
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1. Montrer que $\mathbb{H}^*$ est un sous-groupe $\text{GL}_2(\mathbb{C})$ (le groupe linéaire de matrices inversible $2\times2$ à coefficients dans $\mathbb{C}$)
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2. verrifier que :
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- $i^2 = j^2 = k^2 = -1$, $ij=k$, $ik=-j$, $ji=-k$, $jk=i$, $ki=j$, $kj=-i$
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3. montrer que le groupe engendré par $1, i, j, k$ est d'ordre 8. On appelle ce groupe $H_8$
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4. montrer que ces groupes sont deux-à-deux non-isomorphes : $(H_8, \times)$, $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, \dot+)$, $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},\dot+), (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z},\dot+)$
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