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sr-due: 2023-06-08
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sr-interval: 365
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sr-ease: 330
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alias: lci
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aliases:
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- lci
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- lois de composition internes
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up::[[loi de composition]]
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#s/maths/algèbre
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Une _loi de composition interne_ est une [[loi de composition]] qui est interne, cad. que tout composé est aussi dans l'ensemble de départ.
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> [!définition]
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> Soit $E$ un ensemble non vide.
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> Une _loi de composition interne_ $*$ sur $E$ est la donnée d'une [[application]] de $E \times E$ dans $E$, qui, à un couple $(x, y)\in E^2$ associe un élément $z\in E$.
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> On écrit : $x*y = z$ (composée de $x$ par $y$)
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> Pour qu'une [[loi de composition]] soit _interne_, il faut que $\forall (x,y)\in E^2, x*y\in E$
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> [!example]
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> - $(\{1, 2, 3\}, \times)$ --> $\times$ n'est pas une LCI sur $\{1, 2, 3\}$ car $2\times3 \not\in \{1, 2, 3\}$
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> - $(\{0, 1\}, \times)$ --> $\times$ est une LCI sur $\{0,1\}$ car $\forall (x,y)\in\{0,1\}^2,\; x\times y \in \{0,1\}$
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# Voir
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- [[stabilité sur un ensemble]]
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- [[table de cayley]]
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# Propriétés
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## [[associativité]]
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$\forall(a,b,c)\in E^3, a*(b*c)=(a*b)*c$
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## [[élément neutre]]
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$\exists e\in E, \forall a\in E, a*e=e*a=a$
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## [[éléments inversibles]]
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$a\in E$ est symétrisable ssi: $\exists a'\in E, a*a' = a'*a = e$
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## [[commutativité]]
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$\forall(a,b)\in E^2, a*b = b*a$
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## [[distributivité]]
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# Définitions
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> [!definition] Itération d'un élément
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> Soit $E$ un ensemble muni d'une LCI $*$ [[associativité|associative]], et soit $a\in E$.
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> On définit _l'itéré $n$-ème_ de $a$, pour $n\in\mathbb N^*$, noté $a^{*n}$ par :
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> - $a^{*1} = a$
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> - $a^{*2} = a*a$
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> - $a^{(*n)} = a^{*(n-1)}*a$
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> Si $E$ possède un [[élément neutre]] $e$, on écrit $a^{*0} = e$.
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> Si de plus, $a$ est [[éléments inversibles|symétrisable]], on note $a^{*(-1)} = a^{-1},\, a^{*(-2)} = (a^{-1})^{*2},\, \ldots,\, a^{*(-n)} = (a^{-1})^{*n}$
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> > [!example] Exemple
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> > Soit $E$ un ensemble non vide.
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> > On définit une loi de composition interne $\Delta$ sur $\mathscr P(E)$ :
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> > Soit $(A, B)\in(\mathscr P(E))^2, A\Delta B = \complement_{A\cup B}(A\cap B)$
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> > On appelle cette loi "Différence symétrique"
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