24 lines
1.2 KiB
Markdown
24 lines
1.2 KiB
Markdown
---
|
|
aliases:
|
|
- Z/nZ
|
|
up: "[[groupe]]"
|
|
tags: "#s/maths/algèbre"
|
|
---
|
|
|
|
> [!definition] groupe des classes d'équivalence modulo $n$
|
|
> $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}, +)$
|
|
^definition
|
|
|
|
# Propriétés
|
|
|
|
> [!proposition]+ Ordre des éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
|
|
> Soit $k \in \mathbb{Z}$
|
|
> L'[[ordre d'un élément d'un groupe|ordre]] de $\overline{k}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est :
|
|
> $\displaystyle o(\overline{k}) = \frac{n}{\operatorname{pgcd}(n, k)}$
|
|
> > [!démonstration]- Démonstration
|
|
> > - Si $k = 0$ alors $o(\overline{k}) = 1$ et $\operatorname{pgcd}(n, k) = n$ donc l'égalité est vraie.
|
|
> > - Si $k \neq 0$ alors $o(\overline{k})$ est le plus petit entier qui vérifie $o(\overline{k}) \cdot k = \overline{o(\overline{k}) \cdot k} = \overline{0}$, ou autrement le plus petit entier qui vérifie $n | o(\overline{k})\cdot k$.
|
|
> > On a donc $k\cdot o(\overline{k}) = \operatorname{ppcm}(n, k)$. De là suit que :
|
|
> > $\begin{align} o(\overline{k}) &= \frac{\operatorname{ppcm}(n,k)}{k} \\&= \frac{\operatorname{ppcm}(n, k) \cdot \operatorname{pgcd}(n, k)}{k \cdot \operatorname{pgcd}(n, k)} \\&= \frac{n\cdot k}{k \cdot \operatorname{pgcd}(n, k)} \\&= \frac{n}{\operatorname{pgcd}(n, k)} \end{align}$
|
|
|