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aliases:
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- compact
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up:: [[espace métrique]]
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#s/maths/topologie
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> [!definition] [[espace métrique compact]]
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> Un [[espace métrique]] $(X, d)$ est **compact** si toute suite $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $X$ admet une [[suite extraite]] qui converge dans $X$.
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> - i on peut remplacer l'existence d'une sous-suite convergente par la [[propriété de Borel-Lebesgue]] (ce qui permet de généraliser aux [[structure de topologie|espaces topologiques]])
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^definition
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> [!definition] Autres définitions
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> - Pour n'importe quel $(U_{i})_{i \in I}$ [[recouvrement par des ouverts]] de $X$, il existe un [[recouvrement extrait|sous-recouvrement]] $(U_{j})_{j \in J}$ avec $J$ fini
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> - Pour toute famille $(F_{i})_{i \in I}$ de [[partie fermée d'un espace métrique|fermés]] de $(X, d)$, si $\displaystyle\forall J \subset I \text{ finie},\quad \bigcap _{j \in J} F_{j} \neq \emptyset$ alors $\displaystyle\bigcap _{i \in I} F_{i} \neq \emptyset$
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> Voir [[espace métrique compact#^definitions-alternatives|définitions alternatives]]
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Toute partie compacte est fermée
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Soit $C \subset X$ une partie compacte (pour la distance induite)
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> Si toute suite $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ admet une [[suite extraite]] $(x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ convergente dans $C$, alors $C$ est [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]].
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $C$ qui converge vers $\ell$
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> > $(x_{n})_{n}$ admet une [[suite extraite|sous-suite]] $(x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge dans $C$
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> > Mais, vu la remarque précédente, on a : $x_{\varphi(n)} \xrightarrow{n \to \infty} \ell$
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> > et, par hypothèse : $\ell = \lim\limits_{ n \to \infty } x_{\varphi(n)} \in C$
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> > Donc $\ell \in C$ et $C$ est bien fermé
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> [!proposition]+ une fonction réelle continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes
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> Soit $(X, d)$ un espace métrique compact non vide
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> Si $f : X \to \mathbb{R}$ est une [[application continue]], alors :
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> $\displaystyle\exists x_0 \in X,\quad f(x_0) = \inf_{x \in X}f(x)$
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> $\displaystyle\exists x_1 \in X,\quad f(x_1) = \sup_{x \in X} f(x)$
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> - = en particulier, $\inf\limits_{x \in X} f(x) > -\infty$ et $\sup\limits_{x \in X}f(x) < +\infty$
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> - I On dit qu'une fonction continue à valeurs réelles sur un compact est bornée et atteint ses bornes
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $X$ telle que $\displaystyle f(x_{n}) \xrightarrow{n \to \infty} \inf_{x \in X} f(x)$
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> > La suite $(x_{n})$ admet une [[suite extraite|sous-suite]] $(x_{\varphi(x)})_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge dans $X$.
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> > Notons $x_0 = \lim\limits_{ n \to \infty } x_{\varphi(n)}$
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> > Comme $f$ est continue, on a :
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> > $\begin{align} f(x_0) &= \lim\limits_{ n \to \infty } f(x_{\varphi(n)}) \\ &= \inf_{x \in X} f(x) \end{align}$
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> > On a donc trouvé $x_0 \in X$ tel que $\displaystyle f(x_0) = \inf_{x \in X} f(x)$
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> > On procède de la même manière pour trouver $x_1 \in X$ tel que $f(x_1) = \sup_{x \in X}f(x)$
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> > [!example]- Exemple d'application
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> > considérons $C$ une partie compacte non vide de $(X, d)$ un [[espace métrique]] quelconque
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> > Fixons $a \in C$
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> > La fonction
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> > $\begin{align} f : C &\to \mathbb{R}\\ x &\mapsto d(a, x) \end{align}$
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> > est continue
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> > Donc il existe $x_1 \in C$ tel que $\displaystyle f(x_1) = \sup_{x \in C} f(x)$
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> > $\displaystyle d(a, x_1) = \sup_{x \in C} d(a, x)$
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> > Si on note $R = d(x_1, a)$, on a $\forall x \in C,\quad d(a, x) \leq \sup\limits_{x \in C} d(a, x)$
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> > donc $d(a, x) \leq R$
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> > et donc $C$ est bornée
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> [!proposition]+ La compacité est stable par union finie
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> Soit $(X, d)$ un espace métrique
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> Si $C_1, \dots, C_{n}$ est un ensemble fini de parties compactes de $X$, alors :
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> $\displaystyle\bigcup _{k = 1}^{n} C_{k}$ est encore une partie compacte
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> [!proposition]+ La compacité est stable par intersection dénombrable
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> Soit $(X, d)$ un espace métrique
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> Si $F_1, \dots, F_{n}$ est un ensemble quelconque de parties fermées dont au moins une est compacte, alors :
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> $\displaystyle \bigcap _{k=1}^{n} F_{k}$ est compacte
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> [!proposition]+ compacité sur un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]]
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> Soit $(E, \|\cdot\|)$ un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel de dimension finie]]
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> Pour toute partie $C \subset E$, on a équivalence entre :
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> 1. $C$ est compacte
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> 2. $C$ est [[partie fermée d'un espace métrique|fermée]] [[fonction bornée|bornée]]
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![[théorème de Riesz#^theoreme]]
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> [!proposition]+ Définitions alternatives de la compacité
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Alors on a équivalence entre :
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> 1. $(X, d)$ est compact
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> 2. Pour n'importe quel $(U_{i})_{i \in I}$ [[recouvrement par des ouverts]] de $X$, il existe un [[recouvrement extrait|sous-recouvrement]] $(U_{j})_{j \in J}$ avec $J$ fini
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> 3. Pour toute famille $(F_{i})_{i \in I}$ de [[partie fermée d'un espace métrique|fermés]] de $(X, d)$, si $\displaystyle\forall J \subset I \text{ finie},\quad \bigcap _{j \in J} F_{j} \neq \emptyset$ alors $\displaystyle\bigcap _{i \in I} F_{i} \neq \emptyset$
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> - ? **Intérêt** : on a des définitions de la compacité qui n'utilisent pas la convergence des suites (bien pour les [[structure de topologie|espaces topologiques]] généraux)
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> - dem [[démonstration des définitions alternatives de la compacité|démonstration]]
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^definitions-alternatives
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# Exemples
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- p Par le [[Théorème de Bolzano-Weierstrass]], on sait que tout intervalle $I$ [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]] borné de $\mathbb{R}$ est compact.
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- c $\mathbb{R}$ n'est pas compact
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- si $x_{n} =n$, alors toutes les sous-suites de $(x_{n})$ tendent vers $+\infty$
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- c $]0; 1]$ n'est pas compact
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- par exemple, $x_{n} = \frac{1}{n+1}$ est une suite d'éléments de $]0; 1]$ mais toutes les suites extraites convergent vers $0 \notin ]0; 1]$
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