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up:: [[indices d'une variable aléatoire]]
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title:: "discret : $E(X) = \sum\limits_{i}(x_{i}\cdot p_{i})$", "continu : $E(X) = \int x f(x) \, dx$, où $f(x)$ est la [[fonction de densité de probabilités]]"
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#s/maths/probabilités
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> [!definition] Espérance d'une [[variable aléatoire continue]]
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> Soit $X$ une [[variable aléatoire continue]]
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> Soit $f$ la [[fonction de densité de probabilités]] de $X$
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> L'**espérance** de $X$ est :
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> $\boxed{E(X) = \int_{\mathbb{R}} x f(x) \, dx}$
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> - [I] peut être vu comme une généralisation du cas des variables discrettes
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> [!definition] Espérance d'une [[variable aléatoire discrète]]
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> Soit $X$ une [[variable aléatoire discrète]]
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> Soit $f$ la [[fonction de densité de probabilités]] de $X$
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> Soit $(x_{i})$ la suite des valeurs prises par $X$
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> Soit $(p_{i})$ la suite des $P(X \leq x_{i})$
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> L'**espérance** de $X$ est :
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> $\boxed{E(X) = \sum\limits_{i}(x_{i} \cdot p_{i})}$
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> - [I] C'est la somme des $\text{valeur prise} \times \text{probabilité associée}$
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# Propriétés
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Soient $X$ et $Y$ deux [[variable aléatoire réelle|variables aléatoires]]
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Soient $f$ et $g$ leurs [[fonction de densité de probabilités|fonctions de densité de probabilités]] respectives
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- $E( \lambda X + Y) = \lambda E(X) + E(Y)$ l'espérance est [[application linéaire|linéaire]]
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- Si $X$ et $Y$ sont [[variables aléatoires indépendantes|indépendantes]], alors $E(X \times Y) = E(X) \times E(Y)$
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