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up::[[fonction cosinus hyperbolique|ch]]
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sibling::[[démonstration de l'expression de l'arg sinus hyperbolique]]
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description::"démonstration de $\arg \mathrm{ch}(x)=\ln\left(x + \sqrt{x^{2}-1}\right)$"
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#s/maths/trigonométrie #t/démonstration
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$$\begin{align*}
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\mathrm{ch}(x) = y &\iff \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} = y\\
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&\iff e^{x}+e^{-x} = 2y \qquad y \text{ doit être } \geq 1\\
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&\text{ si } y \geq 0 , \text{ avec } x \geq 0 \text{ (car } \mathrm{ch} \text{est paire})\\
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&\iff e^{x} + e^{-x} = 2 y\\
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&\iff e^{x} + \frac{1}{e^{x}} = 2y\\
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&\iff e^{2x} + 1 = 2e^{x}y\\
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&\iff (e^{x})^{2} - 2y(e^{x}) + 1 = 0\\
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&\qquad \Delta = 4y^{2} - 4\\
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&\qquad \qquad \text{puisque } y \geq 1, \Delta \geq 0\\
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&\qquad \text{deux solutions, éventuellement identiques} :\\
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&s_{1} = \frac{2y - \sqrt{4y^{2}-4}}{2} = y-\sqrt{y^{2}-1}\\
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&s_{2} = y + \sqrt{y^{2}-1}\\
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&\text{donc on a :}\\
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&\iff \left\{\begin{lgathered} e^{x} = s_{1}\\\text{ou}\\ e^{x} = s_{2} \end{lgathered}\right.\\
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&\text{on sait que } x \geq 0 \text{ donc } e^{x} \geq 1\\
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&\text{Or, quand } y > 1 :\\
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&\qquad s_{2}>1\\
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&\qquad s_{1} \text{n'est pas toujours } > 1\\
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&\iff e^{x} = s_{2}\\
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&e^{x} = y + \sqrt{y^{2} - 1}\\
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&x = \ln(y+\sqrt{y^{2}-1})\\
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&
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\end{align*}$$
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