cours/nombre complexe.md

up::ensembles de nombres title::"\mathbb{C} := \{ a + ib \mid (a, b) \in \mathbb{R} \} où $i^{2} = -1$" #maths/analyse/complexes

---

On a créé un objet noté i tel que i^2 = -1 Un nombre complexe z s'écrit z = a + ib avec (a, b)\in\mathbb R^2 \mathbb C est l'ensemble des nombres complexes. On a donc z\in\mathbb C

Propriétés

• \mathbb{C} est un corps

Soit z = a+ib un nombre complexe :

• z + \overline z = 2\text{Re}(z)
  • \text{Re}(z) = \dfrac{z+\overline z}2
• z-\overline z = 2i\text{Im}(z)
  • \text{Im}(z) = \dfrac{z-\overline z}{2i}
• \lambda z = \lambda a + i\lambda b
  • \text{Re}(\lambda z) = \lambda \text{Re}(z)
  • \text{Im}(\lambda z) = \lambda \text{Im}(z)
• z = \overline z \iff z\in\mathbb R
  • Evident car \text{Re}(z) = \text{Re}(\overline z) et car \text{Im}(z) = -\text{Im}(\overline z)
  • Permet de montrer qu'un complexe est un réel
• z = -\overline z \iff z\in i\mathbb R
  • Evident car \text{Re}(z) = \text{Re}(\overline z) et car \text{Im}(z) = -\text{Im}(\overline z)
  • Permet de moontrer qu'un complexe est un imaginaire pur
• z\times\overline z = |z|^2
  • Démonstration : z\times\overline z = (a+ib)(a-ib) = a^2-(ib)^2 = a^2 + b^2 = |z|^2
• \dfrac1z = \overline z\dfrac1{|z^2|}
  • Démonstration : \dfrac1z = \dfrac{\overline z}{z\times\overline z} = \dfrac{\overline z}{|z|^2} = \overline z\dfrac1{|z|^2}

Notations

Soit z = a+ib, (a,b)\in\mathbb R^2.

• \text{Re}(z) est la partie réelle de z (soit a)
• \text{Im}(z) est la partie imaginaire de z (soit b)
• |z| est le module d'un complexe de z
• \arg(z) ets argument de z
• \overline{z} est le conjugé complexe de z
• la forme z=a+ib, (a,b)\in\mathbb R^2 est la forme algébrique de z
• la forme \alpha e^{i\theta} est la forme exponentielle de z
• la forme \alpha\left( cos(\theta) + i\sin(\theta) \right) est la forme trigonométrique d'un complexe de z

Voir : construction de C