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aliases:
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- voisinages
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up:
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- "[[structure de topologie|topologie]]"
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tags:
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- s/maths/topologie
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> [!definition] Définition
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> Soit $(E, \mathscr{T})$ un [[espace topologique]]
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> Soit $x \in E$ et $V \subset E$
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> On dit que $V$ est un **voisinage** de $x$ si et seulement si il existe un ouvert $O \in \mathscr{T}$ tel que $x \in O$ et $O \subset V$.
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> On note $\mathcal{V}(x)$ l'ensemble des voisinages de $x$.
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> Dans $(E, \mathscr{T})$, soit $x \in E$ et soit $V \subset E$
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> Si $V \in \mathcal{V}(x)$ alors $x \in V$
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> Tout voisinage de $x$ contient $x$
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> [!proposition]+
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> Dans $(E, \mathscr{T})$, soit $x \in E$ et soit $V \subset E$
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> Toute partie de $E$ qui contient un voisinage de $x$ est un voisinage de $x$
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>
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> $\forall U, V \in \mathscr{P}(E),\quad (U \in \mathcal{V}(x) \wedge U \subset V) \implies V \in \mathcal{V}(x)$
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> [!proposition]+ Stabilité par intersection finie
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> Toute intersection **finie** de voisinages de $x$ est un voisinage de $x$
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> $\forall U, V \in \mathcal{V},\quad U \cap V \in \mathcal{V}(x)$
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> [!proposition]+ Voisinages dans $\mathbb{R}$
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> Dans $\mathbb{R}$ muni des ouverts de $\mathbb{R}$
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> Les parties $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ ne sont voisinage d'aucun de leurs points.
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# Exemples
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