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[!definition] tribu trace Soit (E, \mathcal{A}, \mu) un espace mesurable Soit C \in \mathcal{A} On note \mathcal{B} = \{ A \cap C \mid A \in \mathcal{A} \} \mathcal{B} est une tribu sur C appelée tribu trace de \mathcal{A} sur C

[!démonstration]- Démonstration : \mathcal{B} est bien une tribu

1. \emptyset \in \mathcal{B} car \emptyset \in \mathcal{A} et \emptyset \cap C = \emptyset
2. Soit B \in \mathcal{B}. montrons que son complémentaire dans C est dans \mathcal{B} \complement_{C}^{B} = C \setminus B = C \cap B^{\complement} B \in \mathcal{B}, donc \exists A \in \mathcal{A}, \quad B = A \cap C alors C \setminus B = C \cap \underbrace{(A \cap C)^{\complement}}_{\in \mathcal{A}} \in \mathcal{B} par définition de \mathcal{B} Donc, \mathcal{B} est bien stable par complémentaire
3. Soit (B_{n})_{n\in\mathbb{N}} une suite de \mathcal{B} Pour tout n \in \mathbb{N}, il existe A_{n} \in \mathcal{A} tel que B_{n} = C \cap A_{n} (par définition de \mathcal{B}) \bigcup _{n\in\mathbb{N}} B_{n} = \bigcup _{n\in\mathbb{N}} \left( C \cap A_{n} \right) = C \cap \underbrace{\left( \bigcup _{n\in\mathbb{N}} \underbracket{A_{n}}_{\in \mathcal{A}}\right)}_{\in \mathcal{A}} \in \mathcal{B} par définition de \mathcal{B} Donc toute union d'éléments de \mathcal{B} est bien dans \mathcal{B}, c'est-à-dire que \mathcal{B} est stable par union.

Alors, \mathcal{B} est bien une tribu sur C ^definition

Propriétés

Exemples