cours/théorème de transfert.md

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	variable aléatoire réelle fonction intégrable	s/maths/probabilités

[!proposition]+ théorème de transfert Soit X une variable aléatoire réelle définie sur (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) Soit g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une application $\mathcal{B}(\mathbb{R})$-fonction mesurable Alors : g \circ X est $\mathbb{P}$-fonction intégrable \iff g est $P_{X}$-fonction intégrable

Et dans ce cas : \displaystyle\int_{\Omega} g \circ X \, d\mathbb{P} = \int_{\mathbb{R}} g \, d\mathbb{P}_{X}

^theoreme-de-transfert

[!démonstration]- Démonstration

1. Soit A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) et g = \mathbb{1}_{A} \begin{align} \int_{\Omega} g \circ X \, d\mathbb{P} &= \int_{\Omega} \mathbb{1}_{X^{-1}(A)} \, d\mathbb{P} \\&= \mathbb{P}(X^{-1}(A)) \\&= \mathbb{P}_{X}(A) \\&= \int_{\mathbb{R}} \mathbb{1}_{A} \, d\mathbb{P}_{X} \end{align}
2. Soient n \geq 1, a_1,\dots,a_{n} \geq 0 et A_1, \dots, A_{n} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) Soit g = \sum\limits_{i = 1}^{n} a_{i} \mathbb{1}_{A_{i}} une fonction étagée positive On a : \begin{align} \int_{\Omega} g \circ X \, d\mathbb{P} &= \sum\limits_{i=1}^{n} \left( a_{i} \int_{\Omega} \mathbb{1}_{A_{i}} \circ X \, d\mathbb{P} \right) \\&= \sum\limits_{i=1}^{n} \left( a_{i} \int_{\mathbb{R}} \mathbb{1}_{A_{i}} \, d\mathbb{P}_{X} \right) & \text{par le 1.} \end{align}
3. Soit g une application fonction mesurable positive Il existe une suite croissante de fonction étagée positive (g_{n}) telle que g_{n} \xrightarrow{n \to +\infty} g Alors (g_{n} \circ X) est une suite croissante, et g_{n} \circ X \xrightarrow{n \to +\infty} g \circ X Par le théorème de convergence monotone des intégrales : \begin{align} \int_{\Omega} g \circ X \, d\mathbb{P} &= \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{\Omega} g_{n} \circ X \, d\mathbb{P} & \text{ par le thm de CV monotone} \\&= \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{\mathbb{R}} g_{n} \, d\mathbb{P}_{X} & \text{par le 2.} \\&= \int_{\mathbb{R}} g \, d\mathbb{P}_{X} & \text{par le thm de CV monotone} \end{align}
4. Soit g une application fonction mesurable g = g^{+} - g^{-} (partie positive d'une fonction et partie négative d'une fonction) on a que |g| = g^{+} + g^{-} donc : \begin{align} \int_{\Omega} |g \circ X| \, d\mathbb{P} &= \int_{\Omega} g^{+} \circ X \, d\mathbb{P} + \int_{\Omega} g^{-} \circ X \, d\mathbb{P} \\&= \int_{\mathbb{R}} g^{+} \, d\mathbb{P}_{X} + \int_{\Omega} g^{-} \, d\mathbb{P}_{X} & \text{par le 3.} \\&= \int_{\mathbb{R}} |g| \, d\mathbb{P}_{X} \end{align} d'où suit que g \circ X est $\mathbb{P}$-fonction intégrable k\iff g est $\mathbb{P}_{X}$-intégrable Et on obtient (de la même manière) que : \begin{align} \int_{\Omega} g \circ X \, d\mathbb{P} &= \int_{\Omega} g^{+} \circ X \, d\mathbb{P} - \int_{\Omega} g^{-} \circ X \, d\mathbb{P} \\&= \int_{\mathbb{R}} g^{+} \, d\mathbb{P}_{X} - \int_{\Omega} g^{-} \, d\mathbb{P}_{X} \\&= \int_{\mathbb{R}} g \, d\mathbb{P}_{X} \end{align}

[!corollaire] Soit X est une variable aléatoire discrète et D l'ensemble de ses atomes Soit g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonction mesurable \mathbb{E}(g(x)) = \sum\limits_{x \in D} \left( g(x) \mathbb{P}(X=x) \right)

[!démonstration]- Démonstration \begin{align} \mathbb{E}(g(X)) &= \int_{\Omega} g(X) \, d\mathbb{P} \\&= \int_{\mathbb{R}} g \, d\mathbb{P}_{X} & \text{par le thm de transfert} \end{align} Or \mathbb{P}_{X} = \sum\limits_{x \in D} \left( \mathbb{P}(X = x) \delta _{x} \right) d'où on obtient : \displaystyle \mathbb{E}(g(X)) = \sum\limits_{x} ^corollaire-var-discrete

[!corollaire] Si X est une variable aléatoire réelle de probabilité à densité f Soit g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonction mesurable Alors : Si g est $\mathbb{P}_{X}$-fonction intégrable on a : \displaystyle\mathbb{E}(g(X)) = \int_{\mathbb{R}} g(x)f(x) \, d\lambda(x) ^corollaire-var-a-densite

En dimension supérieure

[!proposition]+ théorème de transfert Soit X un vecteur aléatoire et g : \mathbb{R}^{d} \to \mathbb{R} mesurable Alors : g(X) est \mathbb{P} intégrable \iff g est \mathbb{P}_{X} intégrable et dans ce cas : \mathbb{E}(g(X)) = \int_{\Omega} g(x) \, d\mathbb{P} = \int_{\mathbb{R}} g(x_1, \dots, x_{d}) \, d\mathbb{P}_{X}(x_1, \dots, x_{d})

• dem La démonstration se fait de la même manière qu'en dimension 1