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[!proposition]+ Théorème de Tonelli Soient (E, \mathcal{A}, \mu) et (F, \mathcal{B}, \nu) deux espace mesuré que l'on suppose mesure sigma finie Soit f fonction mesurable positive de (E\times F, \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}) \to (\overline{\mathbb{R}}_{+}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}_{+})) Alors :

1. l'application \begin{align} E &\to \overline{\mathbb{R}}_{+} \\ x &\mapsto \int_{F} f(x, y) \, \nu(dy) \end{align} est $\mathcal{A}$-mesurable et l'application \begin{align} F &\to \overline{\mathbb{R}}_{+}\\ y &\mapsto \int_{E} f(x, y) \, \mu(dx) \end{align} est $\mathcal{B}$-mesurable
2. \begin{align} \int_{E \times F} f \, d\mu \otimes \nu &= \int_{E} \left( \int_{F} f(x, y) \, \nu(dy) \right) \, \mu(dx)\\&= \int_{F} \left( \int_{E} f(x, y) \, \mu(dx) \right) \,\nu(dy) \end{align}

Application

Exemple 1

Posons D = [0; +\infty[ \times [a; b] \begin{align} f :& \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}_{+} \\ & (x, y) \mapsto e^{ -xy } \end{align}

\begin{align} 
I &= \int_{\mathbb{R}^{2}} f \, d\lambda^{\otimes 2} \\
&= \int_{\mathbb{R}} \left( \int_{\mathbb{R}} f(x, y) \, \lambda(dx)  \right)  \, \lambda(dy)  \\
&= \int_{\mathbb{R}} \left( \int_{R} e^{ -xy } \mathbb{1}_{\mathbb{R}^{+}}(x) \mathbb{1}_{[a, b]}(y) \, dx  \right)  \, dy\\
&= \int_{\mathbb{R}} \mathbb{1}_{[a; b]}(y) \left( \int_{0}^{+\infty} e^{ -xy } \, dx  \right)  \, dy \\
&= \int_{]a; b]} \left[ \frac{e^{ -xy }}{-y} \right]_{0}^{+\infty} \, dx\\
&= \int_{]a; b]} \frac{1}{y} \, dy \\
&= \ln\left( \frac{b}{a} \right)
\end{align}

Mais on a aussi : \displaystyle I = \int_{0}^{+\infty} \left( \int_{a}^{b} e^{ -xy } \, dy \right) \, d = \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{ -ax } - e^{ -bx }}{x} \, dx

Ainsi, on peut obtenir : \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{ -ax } - e^{ -bx }}{x} \, dx = \ln\left( \frac{b}{a} \right)

Ce qui n'est pas évident avec des méthodes d'intégration classiques