cours/théorème de schwarz.md

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	différentielle	s/maths/analyse

[!proposition]+ théorème de schwarz Soit \Omega \subset E un partie ouverte d'un espace métrique Soit f : \Omega \subset E\to F différentielle seconde en x \in \Omega Alors l'application \mathrm{d}^{2}f(x) est symétrique, càd : \forall h, k \in E,\quad \mathrm{d}^{2}f(x)(h, k) = \mathrm{d}^{2}f(x)(k, h)

[!info] En particulier sur \mathbb{R}^{n} Si \Omega \subset \mathbb{R}^{n} alors : Si f est deux fois différentiable en x \in \Omega, pour tous i, j on a : \displaystyle \frac{ \partial^{2} f }{ \partial x_{i} \partial x_{j} }(x) = \frac{ \partial^{2} f }{ \partial x_{j} \partial x_{i} }(x)