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up:: sous groupe distingué, isomorphisme, image d'un morphisme de groupes, noyau d'un morphisme de groupes #s/maths/algèbre

[!proposition]+ théorème de factorisation des morphismes Soient G, G' des groupes Soient H \trianglelefteq G et \pi : G \to G /H Si f : G \to G' est un morphisme de groupes tel que \ker f \supseteq H (noyau d'un morphisme de groupes) alors \exists! \text{morphisme } \bar{f} : G /H \to G',\quad f = \bar{f} \circ \pi De plus :

1. \ker \bar{f} = (\ker f) /H, en particulier : si H = \ker f alors \bar{f} est injectif
2. \mathrm{im} \bar{f} = \mathrm{im} f, en particulier : f \text{ est surjectif} \iff \bar{f} \text{ est surjectif}

^theorem

[!démonstration] Démonstration On sait qu'une telle application \bar{f} existe et est unique si f est constante sur les classes d'équivalences pour la relation d'équivalence définissant l'ensemble quotient G /H. Icii la relation est la congruence modulo H, il suffit donc de férifier que \forall x, y \in G,\quad xy^{-1} \in H \implies f(x)=f(y) Par hypothèse, si xy^{-1} \in H alors f(xy^{-1}) = 1_{G'} et donc f(x) f(y)^{-1} = 1_{G'} donc f(x) = f(y)

• montrons que \bar f est un morphisme : $$\begin{align} \forall x, y \in G,\quad \bar f (\pi(x), \pi(y)) &= \bar f(\pi (xy)) \ &= (\bar f \circ \pi)(xy) \ &= f(xy) \ &= f(x)f(y) \ &= (\bar f \circ \pi)(x) (\bar f \circ \pi)(y) \ &= \bar f (\pi(x)) \bar f(\pi(y)) \end{align}$$ donc \bar f est bien un morphisme

1. Montrons la propriété 1. $$\begin{align} \forall x \in G,\quad \pi(x) \in \ker \bar{f} &\iff \bar{f} (\pi (x)) = 1_{G'} \ &\iff \bar{f} \circ \pi(x) = 1_{G'} \ &\iff f(x) = 1_{G'} \ &\iff x \in \ker f \end{align}$$ Ainsi on a bien \ker \bar{f} = \pi(\ker f)

2. Montrons la propriété 2. On a f = \bar f \circ \pi donc \mathrm{im} f \subseteq \mathrm{im} \bar{f} puisque f(x) = \bar f (\pi(x)) Réciproquement, si y \in \mathrm{im}(\bar f) alors \exists z \in G /H,\quad y = \bar f(z) Or \pi : G \to G /H est surjectif, donc : \exists x \in G,\quad z = \pi(x), et on a : y = \bar f(\pi(x)) = (\bar f \circ\pi )(x) = f(x) donc y \in \mathrm{im}f Ainsi, \mathrm{im} \bar f \subseteq \mathrm{im} f et donc \mathrm{im} \bar f = \mathrm{im} f par double inclusion

Exemple

GL_{n} (\mathbb{C}) / SL_{n}(\mathbb{C}) \simeq \mathbb{C}^{\times}

Le déterminant \det : GL_{n}(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{\times} est un morphisme :

1. de noyau SL_{n}(\mathbb{C}) = \{ M \in GL_{n}(\mathbb{C}) \mid \det M = 1 \}
2. surjectif car \forall \lambda \in \mathbb{C}^{\times},\quad \lambda = \det \begin{pmatrix}\lambda &&& \\&1&&\\&& \ddots&\\ &&&1\end{pmatrix}

2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}

On considère l'application : \begin{align} f : \mathbb{Z} &\to 2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \\ n &\mapsto \overline{2n} \end{align} C'est un morphisme car c'est la composée de deux morphismes : f = \pi \circ d avec \begin{align} d : \mathbb{Z} &\to 2\mathbb{Z}\\ n &\to 2n \end{align} et \begin{align} \pi : 2\mathbb{Z} &\to 2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\\ k &\mapsto \overline{k} \end{align}

• ? AB \simeq AC \overset{?}{\implies} B \simeq C