90 lines
5.5 KiB
Markdown
90 lines
5.5 KiB
Markdown
up:: [[intégration]]
|
||
#s/maths/intégration
|
||
|
||
> [!proposition]+ [[théorème de convergence dominée]]
|
||
> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
|
||
> Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions mesurables à valeurs dans $\mathbb{C}$ et telle que :
|
||
> 1. $(f_{n})$ converge vers $f$ $\mu$-presque partout
|
||
> 2. il existe $g$ [[fonction intégrable|intégrable]] positive telle que $\forall n \in \mathbb{N},\quad |f_{n}| \leq g$ $\mu$-presque partout
|
||
>
|
||
> Alors, les fonctions $(f_{n})$ et $f$ sont intégrables et :
|
||
> $\displaystyle\lim\limits_{ n \to \infty } \int_{E} f_{n} \, d\mu = \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu = \int_{E} f \, d\mu$
|
||
> On a même :
|
||
> $\displaystyle \int_{E} |f_{n} - f| \, d\mu \xrightarrow{n \to \infty} 0$
|
||
> [[démonstration du théorème de convergence dominée|démonstration]]
|
||
^theoreme
|
||
|
||
> [!idea] Pour retenir
|
||
> Pour pouvoir permuter la limite et l'intégrale pour une suite $(f_{n})$ il faut :
|
||
> - que les $f_{n}$ soient mesurables
|
||
> - que $(f_{n})$ converge $\mu$-presque partout
|
||
> - que $|f_{n}| \leq g$ $\mu$-presque partout (c'est-à-dire que $f_{n}$ est dominée par $g$)
|
||
|
||
> [!corollaire] Corollaire du [[théorème de convergence dominée]]
|
||
> Soit $(f_{n})_{n}$ une suite de fonctions [[fonction mesurable|mesurables]] de $(E, \mathcal{A}, \mu) \to \mathbb{R}$ telle que $\displaystyle \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \int_{E} |f_{n}| \, d\mu < +\infty$.
|
||
> Alors :
|
||
> - $f_{n}$ est intégrable pour tout $n$
|
||
> - $f = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} f_{n}$ converge $\mu$-presque partout vers une fonction $f \in \mathscr{L}^{1}$ (voir [[fonction intégrable#^ensemble-fonction-integrables|ensemble des fonctions intégrables]])
|
||
>
|
||
> > [!démonstration]- Démonstration
|
||
> > Posons $g = \sum\limits_{n= 0}^{+\infty} |f_{n} | \geq 0$
|
||
> > $\begin{align} \int_{E} g \, d\mu &= \int_{E} \sum\limits_{n=0}^{+\infty}|f_{n}| \, d\mu \\&= \int_{E} \lim\limits_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N}|f_{n}| \, d\mu \\&= \lim\limits_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N} \int_{E} |f_{n}| \, d\mu & \text{par le TCD} \\&= \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \int_{E} |f_{n}| \, d\mu \\&< +\infty \end{align}$
|
||
> > On applique le TCD à $g_{n} = \sum\limits_{k=0}^{n}f_{k}$
|
||
> > $g$ est intégrable, donc $g$ est finie $\mu$-presque partout. Il existe $N \in \mathcal{A}$ tel que $\mu(N) = 0$ et $g(x) \in \mathbb{R}^{+}$ si $x \notin N$
|
||
> > Posons $f = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} f_{n}(x)$
|
||
> > $f$ est bien défninie sur $N^{\complement}$ car, sur $N^{\complement}$, la série est absolument convergente, et $|f(x)| \leq g(x) < +\infty$ sur $N^{\complement}$
|
||
> > On applique le TCD à $g_{n} = \sum\limits_{k=0}^{n}f_{k}$
|
||
|
||
# Application
|
||
Pour pouvoir appliquer le théorème de convergence dominée (TCD) à $f_{n}$, il faut :
|
||
- montrer que $f_{n}$ est mesurable
|
||
- montrer que $f_{n}$ converge $\mu$-presque partout (vers $f$)
|
||
- majorer $|f_{n}|$, donc trouver g tel que $|f_{n}|\leq g$ $\mu$-presque partout
|
||
- montrer que $g$ est intégrable
|
||
|
||
# Exemples
|
||
|
||
## Exemple 2 :
|
||
$\displaystyle f_{n} : x \mapsto \frac{x^{n}}{1+ x^{n+2}}\mathbb{1}_{\mathbb{R}^{+}}𝐹(x)$ avec $n \in \mathbb{N}$
|
||
|
||
### hypothèse 1.
|
||
$f_{n}(x) \xrightarrow{n \to +\infty} \begin{cases} 0\quad \text{si } x\leq 0\\ 0 \quad \text{si } 0 \leq x <1\\ \frac{1}{2}\quad \text{si } x = 1 \\ \frac{1}{x^{2}} \quad \text{si } x > 1 \end{cases}$
|
||
Donc $f_{n} \to f$ $\lambda$-presque partout où $f(x) = \frac{1}{x^{2}}\mathbb{1}_{]1; +\infty[}(x) + \frac{1}{2}\mathbb{1}_{\{ 1 \}}(x)$
|
||
Mais on peut ne pas considérer la fonction en $1$, car $\lambda(\{ 1 \}) = 0$.
|
||
Donc $f_{n} \to f$ $\lambda$-presque partout où $f(x) = \frac{1}{x^{2}}\mathbb{1}_{]1; +\infty[}(x)$
|
||
|
||
### hypothèse 2.
|
||
$|f_{n}(x)| \leq \begin{cases} \frac{1}{1} \quad \text{si } x \in [0; 1] \\ \frac{x^{n}}{x^{n+2}} = \frac{1}{x^{2}} \quad \text{si } x > 1 \end{cases}$
|
||
On a donc :
|
||
$|f_{n}| \leq g$ où $g(x) = \mathbb{1}_{[0; 1]}(x) + \frac{1}{x^{2}}\mathbb{1}_{]1; +\infty[}(x)$
|
||
$g$ est nulle sur $\mathbb{R}^{-}$, continue par morceaux, et $g(x) \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{x^{2}}$ donc $g$ est intégrable
|
||
|
||
### Conclusion
|
||
|
||
D'après le théorème de convergence dominée (TCD), $f_{n}$ est intégrable pour tout $n \in \mathbb{N}$, et on a :
|
||
$\displaystyle \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{x^{n}}{1+x^{n+2}} \, \lambda(d\mu) \xrightarrow{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}^{+}} f(x) \, \lambda(d\mu) = \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{1}{x^{2}} \, \lambda(d\mu) = 1$
|
||
|
||
La limite des intégrales des $f_{n}$ est bien 1 car :
|
||
Soit $A > 1$, on a :
|
||
$\displaystyle\int_1^{A} \frac{1}{x^{2}} \, dx = \left[ - \frac{1}{x} \right]_{1}^{A} = 1- \frac{1}{A} \xrightarrow{A \to \infty} 1$
|
||
|
||
|
||
## Exemple 3 :
|
||
Soit $\displaystyle f_{n}(x) = \frac{ n\sin\left( \frac{x}{n} \right)}{x^{5}} \mathbb{1}_{[1; +\infty]}(x)$
|
||
Pour tout $n$, $f_{n}$ est continue par morceaux, donc mesurable
|
||
### 1. $f_{n}$ converge
|
||
$f_{n}(x) \xrightarrow{n \to \infty} \begin{cases} 0 \quad \text{si } x < 1\\ \frac{1}{x^{4}} \quad \text{si } x > 1\end{cases}$
|
||
Donc $f_{n} \xrightarrow{n \to \infty} f$ $\lambda$-presque partout
|
||
|
||
### 2. majoration de $f_{n}$
|
||
$|f_{n}(x)| \leq \frac{n}{x^{5}}\mathbb{1}_{[1; +\infty[}(x)$ car $|\sin(u)| \leq 1$, mais cette majoration ne fonctionnera pas, car elle dépend de $n$
|
||
|
||
On sait que $|\sin(u)| \leq |u|$, donc :
|
||
$\displaystyle|f_{n}(x)| \leq \frac{n| \frac{x}{n}|}{x^{5}}\mathbb{1}_{[1; +\infty[}(x) = \frac{1}{x^{4}}\mathbb{1}_{[1; +\infty[}(x) = g(x)$
|
||
$g$ est intégrable
|
||
|
||
### Conclusion
|
||
D'après le TCD, $f_{n}$ est intégrable, et :
|
||
$\displaystyle\int_{[1; +\infty]} \frac{n \sin\left( \frac{x}{n} \right)}{x^{5}} \, \lambda(dx)$
|
||
|