cours/théorème chinois.md

up::arithmétique #s/maths/arithmétique

---

[!proposition]+ théorème chinois Soient m et n nombres premiers entre eux On a l'isomorphisme de groupes suivant : \boxed{\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}} ^theoreme

[!proposition]- Théorème chinois - énoncé arithmétique Soit n \in \mathbb{N} avec n \geq 2 Soit (m_{n}) \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}^{*}} une suite de nombres deux-à-deux nombres premiers entre eux Soit (a_{n}) \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}^{*}} une suite Le système : \begin{cases} x \equiv a_1 [m_1]\\ x\equiv a_2[m_2]\\ \vdots\\ x\equiv a_{n}[m_{n}] \end{cases} Admet une unique solution modulo m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_{n} Soit p = \prod\limits_{k=1}^{n} m_{n}, cette solution est une classe de \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} par la relation \equiv Soit (M_{i}) la suite telle que M_{i} = \dfrac{p}{m_{i}} Soit (y_{n}) la suite telle que y_{i} M_{i} \equiv 1 [m_{i}] Et on a : x = a_1M_1y_1 + a_2M_2y_2 + \cdots + a_{n}M_{n}y_{n} ^enonce-arithmetique

\forall n \in \mathbb{N}, n\geq 2 \implies \forall a\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}, \forall m\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}, \forall (i, j) \in \mathbb{N}^{2}, 

[!démonstration]- Démonstration