Propriétés

[!proposition] toute suite convergente est bornée Si une suite converge, alors elle est suite bornée

[!démonstration]- Démonstration Soit (X, d) un espace métrique Soit (u_{n}) \in X^{\mathbb{N}} une suite qui converge vers l Prenons \varepsilon = 1 dans la définition de la convergence de (u_{n}) : \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad d(u_{n}, l) \leq 1 Soit r > \max (\underbrace{d(u_0, l), d(u_1, l), \dots, d(u_{N-1}, l)}_{N \text{ termes }}, 1) On a un nombre fini de termes < +\infty donc le max est < +\infty Donc, on a bien \forall n \in \mathbb{N}, \quad d(u_{n}, l) < r, c'est-à-dire que la suite est fonction bornée On a d(u_{n}, l) \leq \max(\cdots) < r si n < N et d(u_{n}, l) \leq 1 < r si n \geq N, par le choix de N donc, \forall n \in \mathbb{N}, \quad d(u_{n}, l) < r Et donc (u_{n}) est bien bornée, puisqu'elle est contenue dans la boule B(l, r)

[!proposition] Unicité de la limite Soit (X, d) un espace métrique Si (u_{n})_{n} est une suite convergente d'éléments de X, alors sa limite \lim\limits_{ n \to \infty }(u_{n}) est unique.

[!démonstration]- Démonstration Soient l, l' \in X tels que u_{n} \xrightarrow{+\infty} l et u_{n} \xrightarrow{+\infty} l' Soit \varepsilon >0. Comme (u_{n}) converge vers l, il existe un range N \in \mathbb{N} tel que \forall n \geq N, \quad d(u_{n}, l) < \dfrac{\varepsilon}{2} De même, il existe un rang N' \in N tel que \forall n \geq N', \quad d(u_{n}, l') < \dfrac{\varepsilon}{2} Si m = \max(N, N'), on a alors :

m \geq N donc d(u_{m}, l) < \dfrac{\varepsilon}{2}

m \geq N', donc d(u_{m}, l') < \dfrac{\varepsilon}{2} En particulier, on a d(l, l') \leq \underbrace{d(l, u_{m})}_{< \frac{\varepsilon}{2}} + \underbrace{d(u_{m}, l')}_{< \frac{\varepsilon}{2}} D'où : d(l, l') < \varepsilon Comme \varepsilon est quelconque, on en déduit que d(l, l') = 0 En effet, si d(l, l') >0, on pourrait prendre \varepsilon = d(l, l') vu que \varepsilon est quelconque. Le raisonnement ci-dessus donnerait alors d(l, l') < d(l, l'), ce qui est absurde. On a donc bien d(l, l') = 0, et donc l = l' par définition des distances. Alors, on peut bien conclure qu'il ne peut existe qu'une seule limite pour (u_{n}).

[!démonstration]- Autrement Soit (X, d) un espace métrique, Soient x, y \in X On remarque que, comme d(x, y) \geq 0, le fait que (u_{n}) converge vers l \in X, on a : \forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad d(u_{n}, l) < \varepsilon \quad\iff \quad \forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad |d(u_{n}, l)| < \varepsilon Autrement dit, u_{n} \xrightarrow{n \to +\infty} l ssi d(u_{n}, l) \xrightarrow{n \to +\infty} 0 Maintenant, si l, l' \in X sont limites de (u_{n}), on a : 0 \leq d(l, l') \leq d(l, u_{n}) + d(l', u_{n}) (par l'inégalité triangulaire) En passant à la limite n \to +\infty, on obtient : \begin{array}{rccc} 0 &\leq& d(l, l') &\leq& \lim\limits_{ n \to \infty } d(l, u_{n}) &+& \lim\limits_{ n \to \infty } d(l', u_{n}) \\&&&\leq& 0 &+& 0\end{array} Donc d(l, l') = 0, et on peut conclure que l = l', c'est à dire que deux limites de (u_{n}) sont toujours égales. On a bien montré l'unicité de la limite de (u_{n})

[!proposition] Proposition Soit (X, d) un espace métrique Soit (u_{n}) une suite d'éléments de X qui converge vers l \in X Soit x_0 \in X d(u_{n}, x_0) \xrightarrow{n \to +\infty} d(l, x_0)

[!démonstration]- Démonstration Par la seconde inégalité triangulaire : |d(u_{n}, x_0) - d(l, x_0)| \leq d(u_{n}, l) Comme d(u_{n}, l) \xrightarrow{n \to +\infty} 0 on sait alors que d(u_{n}, x_0) \xrightarrow{n \to +\infty} d(l, x_0)

[!corollaire] Corollaire Si (u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in X^{\mathbb{N}} est une suite convergente, alors (u_{n}) est fonction bornée

[!démonstration]- Démonstration Soit l la limite de (u_{n}) Prenons x_0 = l (n \mapsto d(u_{n}, l))_{n \in \mathbb{N}} est une suite qui converge vers 0, donc elle est bornée

[!proposition] Linéarité des limites Si (E, \|\cdot\|) est un espace vectoriel normé. Soient (x_{n}), (y_{n}) \in E^{\mathbb{N}} et (\lambda _{n}) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} avec \begin{cases} x_{n} \to x_{\infty} && x_{\infty} \in E\\ x_{n} \to x_{\infty} && x_{\infty} \in E\\ \lambda _{n} \to \lambda _{\infty} && \lambda _{\infty} \in \mathbb{R} \end{cases} Alors la suite (\lambda _{n}x_{n} + y_{n})_{n \in \mathbb{N}} converge vers \lambda _{\infty}x_{\infty} + y_{\infty}

[!démonstration]- Démonstration On veut montrer que d(\lambda _{n} x_{n}+y_{n}, \lambda _{\infty}x_{\infty}+y_{\infty}) \to 0 c'est-à-dire \|(\lambda _{n}x_{n}+y_{n}) - (\lambda _{\infty}x_{\infty}+y_{\infty})\| \to 0 Or : $$\begin{align} |(\lambda {n}x{n}+y_{n}) - (\lambda {\infty}x{\infty}+y_{\infty})| &= |(\lambda {n}x{n} - \lambda {\infty}x{\infty}) + (y_{n}-y_{\infty})|\ &\leq |\lambda {n}x{n} - \lambda {\infty}x{\infty}| + \underbrace{|y_{n}-y_{\infty}|}{\to 0} \ &\leq |(\lambda {n}x{n} - \lambda {\infty}x{n}) + (\lambda {\infty}x{n} - \lambda {\infty}x{\infty})| + |y{n} - y_{\infty}| \ &\leq \underbrace{|\lambda {n}x{n} + \lambda {\infty}x{n}|}{(1)} + \underbrace{|\lambda {\infty}x{n} - \lambda {\infty}x{\infty}|}{(2)} + \underbrace{|y_{n} - y_{\infty}|}_{(3)} \end{align}$$

(3) : \|y_{n}-y_{\infty}\| = d(y_{n}, y_{\infty}) \xrightarrow{n \to \infty} 0

(2) : \|y_{\infty}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{\infty}\| = \underbrace{|\lambda _{\infty}|}_{\substack{\text{constant}\\\\\\ < \infty}}\cdot \underbrace{\|x_{n}-x_{\infty}\|}_{\xrightarrow{n \to \infty}0} \xrightarrow{n \to \infty} 0

(1) : \|\lambda _{n}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{n}\| = \underbrace{|\lambda _{n}-\lambda _{\infty}|}_{\to 0} \cdot \underbrace{\|x_{n}\|}_{\substack{\text{converge,} \\\text{donc bornée}}} \xrightarrow{n \to \infty} 0 Puisque (1), (2) et (3) tendent vers 0 quand n \to 0, on a bien \|(\lambda n x_{n}+y_{n}) -\| ...

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