cours/réduction de Gauss d'une forme quadratique.md

up:: forme quadratique title:: "somme de carrés de combinaisons linéaires : $\pm\left( ax_1+bx_2+cx_3 \right)^{2} \pm \left( dx_2 + ex_3 \right)^{2} \pm fx_3^{2}$" author:: Carl Friedrich Gauss #s/maths/algèbre

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[!definition] Forme de Gauss d'une forme quadratique La forme de Gauss d'une forme quadratique est une façon d'écrire la forme quadratique comme un polynôme en somme de carrés de combinaisons linéaires de ses variables.

Cela permet de déterminer facilement la forme quadratique positive et le signe de la forme quadratique. ^definition

[!example] Exemple Soit cette forme quadratique : \psi \left( \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \right) = x^{2} + 4 xy +2y^{2} Sous la forme de gauss : \psi \left( \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \right) = (x+2y)^{2} - 2y^{2}

[!info] Méthode de calcul Pour mettre une forme quadratique sous forme de gauss, il faut procéder une variable à la fois, et faire en sorte, à chaque fois, d'utiliser une identités remarquables pour que toutes les références à cette variable soient dans une parenthèse mise au carré.

Par exemple, pour \psi \left( \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \right) = x^{2} + 4xy + 2y^{2}, on commence par x. On remarque la similitude avec l'identités remarquables (x + 2y)^{2} = x^{2} + 4xy + 4y^{2} : les parties avec des x sont les mêmes.

Alors on a : $$\begin{align} \psi \left( \begin{pmatrix}x\ y\end{pmatrix} \right) &= x^{2} + 4xy + 2y^{2}\ &= \left( x^{2} + 4xy + 4y^{2} \right) - 2y^{2} && \text{terme en plus pour compenser l'id. remarquable} \ &= (x + 2y)^{2} - 2y^{2} && \text{on n'a plus que des carrés} \end{align}$$