cours/polynôme irréductible.md

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polynôme	#s/maths/analyse #s/maths/algèbre	polynôme réductible	irréductible irréductibles

[!definition] Définition Soit A un anneau intègre Soit P \in A[X] avec P \neq 0 un polynôme On dit que P est irréductible si

• P est non inversible
• \forall R, S \in A[X],\quad P = RS \implies \begin{cases} R \text{ inversible}\\ \text{ou}\\ S \text{ inversible} \end{cases} ^definition

[!definition] Soit P un polynôme P est irréductible si il n'est ni nul, ni polynôme inversible, ni produit de deux polynômes non polynôme inversible

Propriétés

[!proposition]+ Les polynômes de degré 1 sur un corps sont irréductibles Soit K un corps Les polynômes de degré d'un polynôme 1 de K[X] sont irréductibles

• i ce ne sont pas les seuls irréductible. Ex: X^{2} + 1 est irréductible dans \mathbb{R}[X] ^degre-1-irreductible

[!proposition]+ Polynômes irréductibles sur \mathbb{R} Soit P \in \mathbb{R}[X] P \text{ irréductible } \iff \begin{cases} \operatorname{deg} P = 1 \\ \text{ou} \\ \operatorname{deg} P = 2 \text{ et a un discriminant } < 0 \end{cases}

[!démonstration]- Démonstration

• Soit P \in \mathbb{R}[X] Si \operatorname{deg}P = 1 alors P est irréductible Si \operatorname{deg} P = 2 avec \Delta < 0 alors P n'a pas de racine Posons P = RS alors \operatorname{deg} P = 2 = \operatorname{deg} R + \operatorname{deg} S Alors on a les cas suivants :

  • si \operatorname{deg} R = 0 alors R est inversible
  • si \operatorname{deg} R = 2 alors \operatorname{deg} S = 0 et donc S est inversible
  • si \operatorname{deg} R = 1 alors R à une racine, donc P à une racine, ce qui est contradictoire car \Delta < 0 Donc, R ou S est inversible d'où suit que P est irréductible

• supposons P irréductible on sait que \operatorname{deg} P \geq 1 d'après le théorème de d'Alembert-Gauss, on sait que P a au moins une racine a \in \mathbb{C}

  • si a \in \mathbb{R} alors X - a \mid P et donc P = (X-a) R. De là suit que R est inversible, et donc que R = \alpha \in \mathbb{R}^{*}

Exemples

%% - un polynôme du premier polynôme#Degré aX+b est irréductible ssi a et b sont nombres premiers entre eux %%