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aliases:
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- ouvert
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- ouverts
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up: "[[espace métrique]]"
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sibling: "[[partie fermée d'un espace métrique]]"
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tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] [[partie ouverte d'un espace métrique]]
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> Une partie $O \subset X$ est dite ouverte si :
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> $\forall x \in O, \quad \exists r > 0, \quad B(x, r) \subset O$
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^definition
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> [!idea] intuition
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> Un ensemble est ouvert si tout point de cet ensemble à son voisinage dans l'ensemble (pour un rayon assez petit)
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> Autrement dit il ne contient aucun point de son bord (puisque les points du bord n'ont pas leur voisinage dans l'ensemble)
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> [!definition] ensemble réel ouvert
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> Soit $O \subset \mathbb{R}$
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> $O$ est ouvert si pour tout $x \in O$, il existe $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $x \in ]a, b[ \subset O$
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^definition-reels
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# Propriétés
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> [!proposition] $\emptyset$ est un fermé
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> L'ensemble vide est un fermé de tout espace métrique
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> [!proposition] complémentaires de fermés et d'ouverts
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> Soit $A \subset X$ une partie de $X$
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> $A \text{ est fermée} \iff X \setminus A \text{ est ouverte}$
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> ([[partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts|démonstration]])
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> [!proposition] Union et intersection d'ouverts
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Soit $\mathcal{O}$ l'ensemble des parties ouvertes de $X$
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> On a :
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> - $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O}, \quad \bigcup _{O \in \Omega} O \quad\text{est ouverte}$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Si $\Omega \subset \mathcal{O}$ une famille d'ouverts
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> > Soit $\displaystyle U = \bigcup _{O \in \Omega} O$
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> > Soit $x \in U$ quelconque, $\exists O \in \Omega, \quad x \in O$
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> > Comme $O$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset O$
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> > Or, $O \subset U$ donc $B(x, r) \subset U$
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> > et donc, $U$ est ouverte
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> - $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O} \text{ finie}, \quad \bigcap _{O \in \Omega}O \quad\text{est ouverte}$
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> - ! Une intersection infinie d'ouverts peut être fermée. Par exemple : $\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left] -\frac{1}{n}; \frac{1}{n} \right[ = \{ 0 \}$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $\Omega \subset \mathcal{O}$ une famille finie d'ouverts.
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> > Soit $\displaystyle V = \bigcap _{O \in \Omega} O$
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> > Si $x \in V$, alors $\forall O \in \Omega ,\quad x \in O$
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> > Donc, pour chaque $O \in \Omega$, il existe $r_O > 0$ tel que $B(x, r_O) \subset O$
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> > Si $\displaystyle r = \min_{O \in \Omega} r_0 >0$
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> > On a donc $\forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset B(x, r_O)$
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> > donc $\forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset O$
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> > et donc $\displaystyle B(x, r) \subset \bigcap _{O \in \Omega} O$
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> > On a trouvé $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset V$
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> > Donc $V$ est ouverte
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^union-intersection-ouverts
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> [!proposition]+ Ouvert d'une partie
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Soit $(Y, d) \subset (X, d)$
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> Soit $A \subset Y$
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> $A \text{ est un ouvert de } Y \iff \exists F \in X \text{ ouvert},\quad A = Y \cap F$
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> > [!example]- Exemple
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> > Considérons $X = \mathbb{R}$ et $Y = \mathbb{R}^{+}$
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> > On sait que $]-1; 1[$ est un ouvert de $\mathbb{R}$
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> > Ainsi, $[0; 1[ = ]-1; 1[ \cap \mathbb{R}^{+}$ est un ouvert de $\mathbb{R}^{+}$
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>
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> > [!corollaire]
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> > $\forall A \subset X,\quad A \text{ ouvert de } Y \iff A \text{ ouvert de } X$
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# Exemples
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- = $\emptyset$ est un ouvert
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- = $X$ est un ouvert de $(X, d)$
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> [!example] $]0; 1[$ est un ouvert de $\mathbb{R}$
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> Quel que soit $x \in ]0; 1[$
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> - si $x \leq \frac{1}{2}$, alors $]0; 2x[ = B(x, x) \subset ]0; 1[$
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> en effet, :
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> $\begin{align} B(x, x) &= \{ y \in \mathbb{R}\mid d(x, y) < x \} \\&= \{ y \in \mathbb{R} \mid |y-x| < x \} \\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid-x < y-x < x \} \\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid -x+x<y<x+x \}\\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid 0<y<\underbracket{2x}_{\leq 1} \} \end{align}$
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> On a donc bien $B(x, x) \subset ]0; 1[$
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> - si $x > \frac{1}{2}$, alors $]2x - 1; 1[ = B(x, 1-x) \subset ]0; 1[$
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> en effet :
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> $\begin{align} B(x, 1-x) &= \{ y\in\mathbb{R}\mid |y-x| < 1-x \}\\&= \{ y \in \mathbb{R}| x-1 < y-x < 1-x \}\\&= \left\{ y\in\mathbb{R}\mid \underbracket{2x-1}_{>0 \text{ si } x > \frac{1}{2}} < y < 1 \right\} \\&= \subset ]0; 1[ \end{align}$
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> [!example] $[0; 1[$ n'est pas un ouvert de $\mathbb{R}$
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> en effet, on a, pour tout $r > 0$ :
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> $\begin{align} B(0, r) &= \{ y \in \mathbb{R}\mid d(y, 0) < r \}\\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid |y|<r \}\\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid -r<y<r \} \end{align}$
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> $- \dfrac{r}{2} \notin [0; 1[$ car $-\dfrac{r}{2} < 0$
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> mais $- \dfrac{r}{2} \in B(0, r)$
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> Donc, il n'existe aucun $r>0$ tel que $B(0, r) \subset [0, 1[$
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> Or, $0 \in [0; 1[$
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> Donc $[0; 1[$ n'est pas ouvert dans $\mathbb{R}$
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