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up:: matrice orthogonale, matrice triangulaire title:: "de la forme $\begin{pmatrix} \pm 1&0&\cdots &0\0&\pm 1&\cdots&0\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ 0&0&\cdots&\pm 1\end{pmatrix}$" #s/maths/algèbre

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[!definition] Matrices orthogonales triangulaires Soit M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) une matrice. M est matrice orthogonale et matrice triangulaire si et seulement si elle est de la forme \begin{pmatrix} \pm 1&0&\cdots &0\\0&\pm 1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots &\vdots\\ 0&0&\cdots&\pm 1\end{pmatrix} ^definition

Démonstration

On démontre façilement la forme de ces matrices :

Comme elles sont triangulaires, les valeurs en dessous de la diagonale sont nulles le premier vecteur colonne est donc de la forme \begin{pmatrix}a\\0\\0\\ \vdots\\0\end{pmatrix}.

On sait que a = \pm 1 car ce vecteur doit être unitaire.

Comme on sait que ce vecteur doit être orthogonal à tous les autres vecteur colonne (la matrice doit être orthogonale), on sait que le deuxième vecteur, \begin{pmatrix}b\\c\\0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}, doit avoir un produit scalaire nul avec le premier vecteur. Donc, ab = 0. Comme a \neq 0, on sait que b = 0, et comme le deuxième vecteur est unitaire, on sait qu'il est de la forme \begin{pmatrix}0\\ \pm 1\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}.

On peut alors déduire colonne par colonne, en utilisant les produits scalaires nuls et l'unitarité des vecteurs, que la matrice est bien de la forme :

\begin{pmatrix} \pm 1&0&\cdots &0\\0&\pm 1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\pm 1\end{pmatrix}