Propriétés

[!proposition]+ Remarque On a bien : \begin{align} \sum\limits_{k \geq 1}p(1-p)^{k} &= p \sum\limits_{k \geq 0}(1-p)^{l} \\&= p \frac{1}{1-(1-p)} & \text{car } |1 - p| < 1 \\&= 1 \end{align}

[!proposition]+ Soit p \in ]0, 1[ Soient X_1, X_2, \dots indépendantes et de même loi B(p) Si X = \inf\limits \{ n \geq 1 \mid X_{n} = 1 \} le rang du premier succès Alors X \sim \mathcal{G}(p)

[!démonstration]- Démonstration Soit k \in \mathbb{N}^{*} \begin{align} \mathbb{P}(X = k) &= \mathbb{P}(X_1 = 0, \dots, X_{k-1} = 0, X_{k}=1) \\&= \mathbb{P}(X_1=0) \cdots P(X_{k-1} =0)\mathbb{P}(X_{k} = 1) & \text{par indépendance des } X_{i} \\&= (1-p)^{k-1}p & \text{car } X_{i} \sim B(p)\end{align} de plus, on obtient \sum\limits_{k \geq 1} \mathbb{P}(X = k) = 1 ie. \mathbb{P}(X < +\infty) = 1 Donc \mathbb{P}(X = +\infty) = 0

[!proposition]+ X \sim \mathcal{G}(p) \iff \forall k \geq 0,\quad \mathbb{P}(X > k) = (1-p)^{k}

[!proposition]+ Absence de mémoire Soi X une variable aléatoire réelle à valeurs dans \mathbb{N}^{*} Alors : X \text{ suit une loi géométrique} \iff \underbrace{\forall k, l \geq 1,\quad \mathbb{P}(X > k+l\mid X > k) = \mathbb{P}(X > l)}_{\text{absence de mémoire}}

[!démonstration]- Démonstration

\implies X \sim \mathcal{G}(p) et p \in ]0, 1[ \begin{align} \mathbb{P}(X>k+l \mid X > k) &= \frac{\mathbb{P}(X > k+l \mid X >k)}{\mathbb{P}(X > k)} \\&= \frac{\mathbb{P}(X>k+l)}{\mathbb{P}(X > k)} \\&= \frac{(1-p)^{k+l}}{(1-p)^{k}} \\&= (1-p)^{l} \\&= \mathbb{P}(X >l) \end{align}

\impliedby On suppose l'absence de mémoire pour X à valeurs dans \mathbb{N}^{*} Soit k \geq 1 \begin{align} \mathbb{P}(X > k +1) &= \mathbb{P}(X > k+1 \mid X > k) \mathbb{P}(X> k) + \mathbb{P}(X > k+1 \mid X\leq k) \mathbb{P}(X \leq k) & \text{formule des probabilités totales avec } \{ \{ X > k \}, \{ X \leq k \} \} \\&= \mathbb{P}(X > 1)\mathbb{P}(X > k) + 0 \cdot\mathbb{P}(X \leq k) & \text{par la propriété d'absence de mémoire} \\&= (1-\mathbb{P}(X = 1))\mathbb{P}(X > k) \end{align} Ensuite, par récurrence \forall k \geq 1 on obtient : \mathbb{P}(X>k) = (1-\mathbb{P}(X=1))^{k}

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