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alias:
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- lim sup
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- limite sup
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- limite supérieure
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up: "[[suite]]"
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sibling: "[[limite inférieure d'une suite]]"
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tags: "#s/maths/analyse"
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Soit $(x_{n})$ une suite réelle
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On appelle _limite supérieure de $(x_{n})$_ le nombre $L \in \overline{\mathbb{R}}$ le nombre tel que :
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- Quelque soit $\lambda < L$, l'ensemble des $n \in \mathbb{N}$ tels que $x_{n} > \lambda$ est infini
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- Quelque soit $\lambda > L$, l'ensemble des $n \in \mathbb{N}$ tels que $x_{n} > \lambda$ est fini
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On note : $\lim\sup\limits_{n \rightarrow \infty} (x_{n}) = L$
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> [!définition]
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> Soit $x_{n}$ une suite
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> On pose : $v_{n} = \sup \left\{ x_{k} | k \geq n \right\}$
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> alors :
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> $\limsup\limits_{n \to \infty} x_{n} = \lim\limits_{n \to \infty} v_{n}$
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> > [!idea] interprétation
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> > c'est le maximum de $(u_{n})$ **après** $k$ quand $k$ tend vers l'infini
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> [!définition]- Autre définition
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> Soit $(x_{n}): \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$
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> $L = \lim\sup\limits_{n \rightarrow \infty} (x_{n}) \in \overline{\mathbb{R}}$ ssi :
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> - $\forall \lambda < L, \text{card} \left( \left\{ n \in \mathbb{N} \mid x_{n} > \lambda \right\} \right) = +\infty$
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> - $\forall \lambda > L, \text{card} \left( \left\{ n \in \mathbb{N} \mid x_{n} > \lambda \right\} \right) \neq +\infty$
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>
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> > [!idea] interprétation
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> > La limite supérieure est la valeur $L$ telle que :
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> > - il n'y a **pas** une infinité de points de la suite au dessus de $L$
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> > - il y a une infinité de points juste en dessous de $L$
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>
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# Propriétés
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Soit $(u_{n})_{n}$ une suite réelle.
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- $\lim \inf u_{n} \leq \lim \sup u_{n}$
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- $(u_{n})_{n}$ tend vers $l \in \overline{\mathbb{R}}$ ssi $\lim \inf u_{n} = \lim \sup u_{n} = l$
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- $\lim \sup (\lambda u_{n}) = \lambda \lim \sup u_{n}$ (la limite supérieure est homogène)
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