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[!definition] intégrale de lebesgue sur des fonction étagée positive Soit (E, \mathcal{A}, \mu) un espace mesuré Soit f une fonction étagée positive telle que f = \sum\limits_{i = 1}^{m} \underbracket{a_{i}}_{\in \mathbb{R}^{+}} \mathbb{1}_{A_{i}} avec A_{i} = f^{-1}(\{ \alpha _{i} \}) une suite d'ensembles deux-à-deux disjoints

On appelle intégrale de f par rapport à $\mu$, et on note \int_{E} f\, d\mu, l'élément de \overline{\mathbb{R}^{+}} donné par : \boxed{\displaystyle\int _{E} f \, d\mu = \sum\limits_{i}^{n} \Big(\alpha _{i} \mu(A_{i})\Big)} ^definition-foncitons-etagees-positives

[!definition] intégrale de lebesgue sur des fonction mesurable Dans l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Soit f : E \to \overline{\mathbb{R}^{+}} une fonction mesurable de (E, \mathcal{A}) \to (\overline{\mathbb{R}^{+}}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}^{+}}) On appelle intégrale de f par rapport à \mu l'élément de \overline{\mathbb{R}^{+}} suivant : \displaystyle\int _{E} f \, d\mu = \sup \left\{ \int _{E} u \, d\mu \mid u \leq f \right\} ^definition-fonctions-mesurables

Propriétés

[!proposition]+ Croissance de l'intégrale Si f et g sont des fonction mesurable positives Avec f \leq g, alors : \boxed{\displaystyle \int _{E} f\, d \mu \leq \int _{E} g \, d\mu}

[!démonstration]- Démonstration On pose \mathscr{F} = \{ u \text{ étagée positive} \mid u \leq f \} et \mathscr{G} = \{ u \text{ étagée positive} \mid u \leq g \} \mathscr{F} \subseteq \mathscr{G} donc, par passage au supremum : \sup \left\{ \int _{E} u \, d\mu \mid u \in \mathscr{F} \right\} \leq \sup \left\{ \int _{E} v \, d\mu \mid v \in \mathscr{G} \right\} C'est-à-dire : \displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu

!théorème de convergence monotone des intégrales#^theoreme

Exemples