cours/inégalité de Minkowski.md

up:: norme, produit scalaire sibling:: inégalité triangulaire title:: "$|u + v| \leq |u| + |v|$" #s/maths/algèbre

[!definition] inégalité de Minkowski Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel Soit \|\cdot\| une norme sur E Quels que soient u et v des vecteurs de E On a : \boxed{\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|}

C'est une définition de l'inégalité triangulaire sur les normes. ^definition

Démonstration

!inégalité triangulaire#Démonstration#$ a+b leq a + b $

Cas d'égalité

$$\begin{align} |x+y| = |x| + |y| &\iff |x|^{2} + 2\langle x, y \rangle + |y|^{2} = |x|^{2} + 2\cdot|x|\cdot|y| + |y|^{2} \ &\iff 2\langle x, y \rangle = 2\cdot |x|\cdot | y| \ &\iff \langle x, y \rangle = |x|\cdot | y|\ \end{align}$$ On obtient une inégalité de cauchy schwartz#Cas d'égalité sans la valeur absolue. C'est donc équivalent à avoir x et y vecteurs colinéaires et de même sens (car on a retiré la valeur absolue).