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sr-due: 2023-08-06
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sr-interval: 365
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sr-ease: 346
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up::[[structure algébrique]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] groupe
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> Un ensemble $G$ muni d'une [[loi de composition interne]] $*$ est un _groupe_ ssi :
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> - La loi $*$ est [[associativité|associative]]
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> - $G$ possède un [[élément neutre]] pour $*$
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> - Tout élément de $G$ possède un [[éléments inversibles|inverse]] par $*$
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^definition
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> [!definition] groupe
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> Un groupe est la donnée d'un ensemble non vide $G$ et d'une [[loi de composition interne]] $*$ tels que :
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> - $*$ est [[associativité|associative]]
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> - $\forall (a, b, c) \in G^{3}, \quad a*(b*c) = (a*b)*c = a*b*c$
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> - $G$ admet un [[élément neutre]] pour $*$
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> - $\exists e \in G, \quad \forall g \in G, \quad e*g=g*e=g$
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> - on montre qu'il est unique
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> - tout élément de $G$ possède un inverse pour $*$
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> - $\forall g \in G, \quad \exists h \in G, \quad g*h = h*g = e$ (l'élément neutre)
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> - on montre qu'il est unique
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^definition-formelle
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[[classes sociales|classe]]`
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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collapse: false
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show-attributes: [field]
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 0]
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```
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# Propriétés
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- Un groupe n'est jamais vide
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- car il ne pourrait pas posséder d'élément neutre
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- Il y a un **unique** élément neutre, que l'on note $e_{G}$
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- Chaque élément possède un **unique** [[éléments inversibles|inverse]]
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- l'inverse de $g$ est noté $g^{-1}$
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- Si $a$ et $b$ commutent, alors $a^{-1}$ et $b^{-1}$ commutent aussi (c.a.d. $a * b = b*a \implies a^{-1} * b^{-1} = b^{-1}*a^{-1}$)
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- Les équivalences suivantes sont véfifiées :
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- $a*x = a*y \iff x=y$
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- $x*a = y*a \iff x = y$
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- $a*x=b \iff (a^{-1}*a)*x=a^{-1}*b \iff x=a^{-1}*b$
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- $x*a=b \iff x=b*a^{-1}$
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- L'itéré $n$-ème d'un élément s'écrie : $a^{*n}$ ou $a^n$
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- On pose $a^{*0}=e$
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- On note $(a^{-1})^{*n} = a^{-n}, (n\in\mathbb N)$
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- Alors: $(a^{-1})^{*n} = (a^{*n})^{-1}$
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> [!info] Inverse d'un produit d'éléments
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> - pour $g_1, g_2, \dots, g_{n-1}, g_{n} \in G$, on a $(g_1*g_2*\cdots*g_{n-1}*g_{n})^{-1} = g_{n}^{-1}*g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_2^{-1}*g_1^{-1}$
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> - [!] il faut bien inverser l'ordre des éléments
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Par réccurence sur $n \in \mathbb{N}^{*}$
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> > 1. Initialisation
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> > On veut monter que $g_1^{-1} = g_1^{-1}$. C'est évident.
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> > 2. Hérédité
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> > On suppose la propriété vraie pour un $n-1 \in \mathbb{N}^{*}$
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> > Pour $g_1, \dots, g_{n} \in G$, on a :
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> > $$\begin{align}
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> > (g_1*\cdots*g_{n})*(g_{n}^{-1}*\cdots*g_1^{-1}) &= g_1*\cdots*g_{n-1}*\underbrace{g_{n}*g_{n}^{-1}}_{e_{G}} * g_{n-1}^{-1} *\cdots*g_1^{-1} & \text{ par associativité} \\
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> > &= (g_1*\cdots*g_{n-1})*e_{G}*(g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_1^{-1}) \\
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> > &= (g_1*\cdots*g_{n-1})*(g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_1^{-1}) \\
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> > &= e_{G } & \text{par hypothèse de récurrence}
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> > \end{align}
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> > $$
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# Exemples
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