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up::[[fonctions particulières]]
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#s/maths/analyse
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La _fonction signe_, notée $\mathrm{sgn}$ ou $\mathrm{sg}$ (parfois $\mathrm{sign}$), est une [[fonction]] qui extrait le signe d'un nombre réel.
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> [!definition] Fonction Signe
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> $$\mathrm{sgn}(x) = \left\{\begin{array}{lr}
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> -1 & \text{si } x < 0\\
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> 0 & \text{si } x = 0\\
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> 1 & \text{si } x > 0
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> \end{array}\right.$$
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^definition
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```desmos-graph
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y = -1 | x < 0 | blue
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(0, 0) | blue
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y = 1 | x > 0 | blue
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```
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^graphe
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# Autres définitions
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$$\sgn(x) = \left\{\begin{array}{ll}
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0 & \text{si } x = 0\\
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\dfrac{|x|}{x} \text{ ou } \dfrac{x}{|x|} & \text{si } x \neq 0
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\end{array}
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\right.$$
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# Propriétés
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Tout nombre réel peut être exprimé comme le produit de sa [[valeur absolue]] et de son signe :
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$\forall x\in\mathbb{R}, x = \sgn(x)|x|$
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La fonction signe peut être liée à la [[fonction de Heaviside]] :
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$\forall x\in\mathbb{R}, \sgn(x) = 2H(x) - 1$
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## Primitive
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La fonction signe peut être vue comme la [[dérivation|dérivée]] en tout réel différent de $0$ de la fonction [[valeur absolue]] :
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$\forall x\in\mathbb{R}^*, \dfrac{\d|x|}{\d x} = \sgn(x)$
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