cours/fonction finie presque partout.md

up:: propriété vraie presque partout

[!definition] Définition Dans l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) On dit que f est finie \mu presque partout si l'ensemble des point où f est infinie est un ensemble négligeable pour \mu. Autrement dit, si : \mu(\{ |f(x)| = +\infty \mid x \in E \}) = 0 Ou encore autrement : \exists N \text{ négligeable},\quad \forall x \notin N,\quad |f(x)| < +\infty ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Soit f : E \to \overline{\mathbb{R}} mesurable et telle que \displaystyle \int_{E} |f| \, d\mu < +\infty (c'est-à-dire que |f| est intégrable). Alors f est finie \mu presque partout

[!démonstration]- Démonstration Soit n \in \mathbb{N}^{*}. L'inégalité de Markov assure que : \displaystyle \mu \{ |f| = +\infty \} \leq \mu (\{ |f| \geq n \}) \leq \underbrace{\frac{1}{n} \int_{E} |f| \, d\mu}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0} Donc \mu(\{ |f| = +\infty \}) = 0

Exemples