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[!definition] Définition Soit \mu une mesure de probabilité sur \mathbb{R} On lui associe sa fonction de répartition : \begin{align} F : \mathbb{R} &\to [0; 1] \\ t &\mapsto F(t) = \mu(]-\infty; t]) \end{align} ^definition

Propriétés

Exemples

Exemple 1

Soit \mu = \frac{3}{4}\delta _{1} + \frac{1}{4}\delta _{0} Sa fonction de répartition est : F(t) = \begin{cases} 0 \text{ si } t < 0\\ \frac{1}{4} \text{ si } t \in [0; 1[ \\ 1 \text{ si } t \geq 1 \end{cases} !fonction de répartition d'une mesure de probabilités 2024-11-20 15.00.13.excalidraw

Exemple 2

Soit \mu une mesure de densité f(x) = 2e^{ -2x }\mathbb{1}_{\mathbb{R}^{+}}(x) par rapport à \lambda

• i \mu(\mathbb{R}) = \int_{\mathbb{R}} 1 \, \mu(dx) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \, dx = \int_{0}^{+\infty} 2e^{ -2x } \, dx = 1 donc \mu est bien une mesure de probabilités On cherche F la fonction de répartition de la mesure \mu. Soit t \in \mathbb{R} $$\begin{align} F(t) &= \mu(]-\infty; t]) \ &= \int_{\mathbb{R}} \mathbb{1}{]-\infty; t]}(x) f(x) , dx \ &= \int{\mathbb{R}} \mathbb{1}{]-\infty; t]}(x)\mathbb{1}{\mathbb{R}^{+}}(x) 2e^{ -2x } , dx \ &= \begin{cases} 0 \text{ si } t < 0 \ \int_{0}^{t} 2e^{ -2t } , dt \text{ si } t \geq 0\end{cases} \ &= \begin{cases} 0 \text{ si } t < 0 \ 1 - e^{ -2t } \text{ si } t \geq 0 \end{cases} \end{align}$$ !fonction de répartition d'une mesure de probabilités 2024-11-20 15.21.29.excalidraw