cours/fonction caractéristique d'une mesure.md

up:: mesure de probabilité #s/maths/intégration

[!definition] Définition Soit \mu une mesure de probabilité sur \mathbb{R} On lui associe sa fonction caractéristique \displaystyle \varphi _{\mu} : t \to \int_{\mathbb{R}} e^{ itx } \, \mu(dx) ^definition

Propriétés

[!proposition]+ équivalence avec la transformée de Fourier Si \mu admet pour densité par rapport à \lambda la fonction f, on a : \displaystyle \varphi _{\mu}(t) = \int_{\mathbb{R}} e^{ itx } \, \mu(dx) = \int_{\mathbb{R}} e^{ itx }f(x) \, dx = \hat{f}(x) où \hat{f} est la transformée de Fourier de f

Exemples