33 lines
1.1 KiB
Markdown
33 lines
1.1 KiB
Markdown
---
|
|
alias: "bornée"
|
|
---
|
|
up::[[fonction]]
|
|
#s/maths/analyse
|
|
|
|
> [!definition] [[fonction bornée]]
|
|
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
|
|
> Soit $f$ une fonction de $E \to X$
|
|
> On dit que $f$ est bornée si les images de $f$ sont contenues dans une [[boule]], c'est-à-dire si :
|
|
> $\boxed{\exists (x_0, r) \in X \times \mathbb{R}^{+}, \quad f(E) \subset B(x_0, r)}$
|
|
> Ou, plus formellement : $\exists x_0 \in X, \quad \exists r \geq 0, \quad \forall x \in E, \quad f(x) \in B(x_0, r)$
|
|
^definition
|
|
|
|
> [!idea] Intuition
|
|
> Une fonction est dite _bornée_ si il existe des bornes à cette fonction, cad. si il existe des valeurs qu'elle ne dépasse jamais.
|
|
|
|
> [!definition] Fonction majorée sur $\mathbb{R}$
|
|
> Soit $f$ une fonction définie sur $I$.
|
|
> On dit que $f$ est _majorée_ sur $I$ ssi :
|
|
> $\exists M\in f(I), \forall x\in I, f(x) \leq M$
|
|
> Ici, $M$ est un **majorant** de $f$.
|
|
^majoree
|
|
|
|
> [!definition] Fonction minorée sur $\mathbb{R}$
|
|
> Soit $f$ une fonction définie sur $I$.
|
|
> On dit que $f$ est _minorée_ sur $I$ ssi :
|
|
> $\exists m\in f(I), \forall x\in I, f(x) \geq m$
|
|
> Ici, $m$ est un _minorant_ de $f$
|
|
^minoree
|
|
|
|
|