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Formule de Taylor-Young pour les développements limités ?
\text{DL}_n (x_0) f(x) = \sum_{k=0}^n\left( \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\right) + (x-x_0)^n\varepsilon(x)
avec \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} \varepsilon(x) = 0
Développement limité
\mathrm{DL}_n(0)(1+x)^\alpha = \ldots
?
1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdot(\alpha-n+1)x^n}{n!}+x^n\varepsilon(x)
Développement limité
\mathrm{DL}_n(0)\dfrac{1}{1-x} =\ldots
?
1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+x^n\varepsilon(x)
Développement limité
\mathrm{DL}_n(0)\dfrac{1}{1+x}=\ldots
?
\dfrac1{1+x} = 1-x+x^2+ \cdots +(-1)^nx^n + x^n\varepsilon(x)
soit (1+x)^\alpha avec \alpha = -1
\sum\limits_{k=0}^{n}\Big( (-1)^{k} x^{k} \Big)
Développement limité
\mathrm{DL}_n(0)\ln(1+x) =\ldots
?
x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+x^n\varepsilon(x)
Soit \displaystyle\sum_1^n\left( (-1)^{k-1}\dfrac{x^k}{k} \right) + x^n\varepsilon(x) Attention : commence à k=1 car \ln(1+0) = 0
{-/(⍵*k)÷k←⍳N}x
Développement limité
\mathrm{DL}_n(0)e^x = \ldots
?
1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+x^n\varepsilon(x)
Développement limité
\mathrm{DL}_{n}(0):\cos x =\ldots
?
1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+x^{2n+1}\varepsilon(x)
=\sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^{\frac{k}{2}}\frac{x^{k}}{k!}[2\mid k]
{-/(⍵*k)÷!k←((0=2∘|)⊢⍤/⊢)0,⍳N}x
somme alternée des \frac{x^{k}}{k!} quand 2 divise $k$
Puissances Paires car \cos est une fonction paire.
Les parties régulières à l'ordre 2n et 2n+1 sont les mêmes.
Développement limité
\mathrm{DL}_n(0)\sin x =\ldots
?
x - \dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1!}+x^{2n+2}\varepsilon(x)
\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^{\frac{k-1}{2}}\frac{x^{k}}{k!}[2 \nmid k]
{-/(⍵*k)÷!k←((1=2∘|)⊢⍤/⊢)0,⍳N}x
somme alternée des \frac{x^{k}}{k!} quand 2 ne divise pas $k$
Puissances Impaires car \sin est une fonction impaire.
Les parties régulières à l'ordre 2n+1 et 2n+2 sont les mêmes.
Développement limité
\mathrm{DL}_{n}(0) :\mathrm{sh}(x) = \ldots
?
\displaystyle\mathrm{sh}(x) = x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2}) = \sum\limits_{k=0} ^{n} \frac{x^{k}}{k!}[2\nmid k]
{+/(⍵*k)÷!k←((0=2∘|)⊢⍤/⊢)0,⍳N}x
somme des \frac{x^{k}}{k!} quand 2 ne divise pas $k$
Puissances impaires car \mathrm{sh} est une fonction impaire
Mêmes termes que \mathrm{DL}_{n}: e^{x}
Développement limité
\mathrm{DL}_{n}(0) :\mathrm{ch}(x) = \ldots
?
\displaystyle\mathrm{ch}(x) = 1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1}) = \sum\limits_{k=0} ^{n} \frac{x^{k}}{k!}[2\mid k]
{+/(⍵*k)÷!k←((1=2∘|)⊢⍤/⊢)0,⍳N}x
somme des $\frac{x^{k}}{k!}$ quand 2 divise k
Puissances paires car \mathrm{ch} est une fonction paire
Mêmes termes que \mathrm{DL}_{n}: e^{x}