88 lines
3.7 KiB
Markdown
88 lines
3.7 KiB
Markdown
---
|
|
aliases:
|
|
- modèle probabiliste
|
|
up:
|
|
- "[[probabilités]]"
|
|
tags:
|
|
- s/maths/probabilités
|
|
---
|
|
|
|
> [!definition] Définition
|
|
> Un **espace probabilisé** est donné par un triplet fondamental :
|
|
> $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$
|
|
> - $\Omega$ l'ensemble des issues
|
|
> - $\omega \in \Omega$ est une **issue**
|
|
> - $\mathcal{A}$ l'ensemble des événements
|
|
> - $\mathcal{A}$ est une [[tribu]] de $\Omega$
|
|
> - $\mathbb{P}$ une [[mesure de probabilité]] sur $\mathcal{A}$
|
|
> - une application $\mathbb{P} : \mathcal{A} \to \mathbb{R}$ est une probabilité si :
|
|
> - $\mathbb{P}$ positive
|
|
> - $\mathbb{P}(\Omega) = 1$
|
|
> - $\sigma$-additivité : Si $(A_{i})_{i \in \mathbb{N}} \subset A^{\mathbb{N}}$ sont 2 à 2 disjoints, alors $\mathbb{P}\left( \bigcup _{i \in \mathbb{N}} A_{i} \right) = \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{P}(A_{i})$
|
|
> - autrement dit une probabilité $\mathbb{P}$ est une [[mesure positive]] telle que $\mathbb{P}(\Omega) = 1$
|
|
^definition
|
|
|
|
> [!info] Remarques
|
|
> Pour le modèle $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$
|
|
> - Si $\Omega$ est fini ou dénombrable, on pourra toujours prendre $\mathcal{A} = \mathscr{P}(\mathbb{R})$
|
|
> - Si $\Omega = \mathbb{R}$ on pourra prendre $\mathcal{A} = \mathcal{B}(\mathbb{R})$ la [[tribu borélienne]] sur $\mathbb{R}$
|
|
|
|
# Propriétés
|
|
|
|
> [!example] Vocabulaire
|
|
> Soit $A$ un événement : $A \in \mathcal{A}$
|
|
> - $\omega \in A$ : l'issue $\omega$ **réalise** $A$
|
|
> Soient $A, B \subset \mathcal{A}$
|
|
> - $A \cap B$ : l'événement réalisé si $A$ et $B$ sont réalisés
|
|
> - $A \cup B$ : l'événement réalisé si $A$ ou $B$ sont réalisés
|
|
> - $A \subset B$ : la réalisation de $A$ entraine celle de $B$
|
|
> - $A^{\complement}$ le complémentaire de $A$ dans $\Omega$ (est réalisé lorsque $A$ ne l'est pas)
|
|
> - $A \cap B = \emptyset$ : $A$ et $B$ sont **incompatibles**
|
|
|
|
> [!proposition]+ cas fini ou dénombrable
|
|
> Soit $\Omega = \{ x_{i} \mid i \in I \}$ où $I$ est fini ou [[ensemble infini dénombrable|dénombrable]]
|
|
> Soit $\mathcal{A} = \mathscr{P}(\Omega)$
|
|
> Alors :
|
|
> $\mathbb{P}$ est une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ si et seulement si :
|
|
> il existe $(p_{i})_{i \in I}$ tels que :
|
|
> - $\forall i \in I,\quad p_{i} \geq 0$
|
|
> - $\sum\limits p_{i} = 1$
|
|
> - $\mathbb{P} = \sum\limits_{i \in I} (p_{i}\delta _{x_{i}})$
|
|
|
|
# Exemples
|
|
|
|
> [!example] Lancé d'un dé
|
|
> $\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$
|
|
> $\mathcal{A} = \mathscr{P}(\Omega)$
|
|
> $A = \text{"le résultat est pair"}$
|
|
> $B = \text{"le résultat est premier"}$
|
|
> alors :
|
|
> $A = \{ 2, 4, 6 \}$ et $B = \{ 2, 3, 5 \}$
|
|
> ainsi :
|
|
> $A \cap B = \{ 2 \} \neq \emptyset$ donc $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles
|
|
>
|
|
>
|
|
|
|
> [!example]+ Rectangle sur $[0; 1]$
|
|
> Si $\Omega = [0; 1]$
|
|
> $\mathcal{A} = \mathcal{B}([0; 1])$
|
|
> $\mathbb{P} = \lambda _{[0; 1]}$ la [[mesure de Lebesgue]]
|
|
> alors $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ est un **espace probabilisé**
|
|
> ---
|
|
> $\left[ \frac{1}{2}; \frac{2}{3} \right] \in A$ est un événement
|
|
> $\mathbb{P}\left( \left[ \frac{1}{2}; \frac{2}{3} \right] \right) = \lambda _{[0; 1]}\left( \left[ \frac{1}{2}; \frac{2}{3} \right] \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
|
|
|
|
> [!example]+ Dirac
|
|
> Si $(\Omega, \mathcal{A}) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$
|
|
> Pour tout $a \in \mathbb{R}$ on pose :
|
|
> $\begin{align} \delta _{a} : \mathcal{B}(\mathbb{R}) &\to \mathbb{R} \\ A &\mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } a \in \mathcal{A}\\ 0 \text{ si } a \notin \mathcal{A} \end{cases} \end{align}$
|
|
> La [[mesure de Dirac]] en $a$ est une **probabilité**
|
|
|
|
> [!example] lancer d'un dé
|
|
> $\Omega = \{ 1, 6 \}$
|
|
> $\mathcal{A} = \mathscr{P}(\Omega)$
|
|
> $\mathbb{P} = \frac{1}{6}\delta_1 + \frac{1}{6}\delta_2 + \cdots + \frac{1}{6} \delta_6$
|
|
>
|
|
> probabilité uniforme
|
|
|