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up:: [[espace préhilbertien]]
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title:: "$(E, \varphi)$", "$E$ un [[espace vectoriel]]", "$\varphi$ une [[forme bilinéaire]] [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]], [[forme bilinéaire définie|définie]], [[forme bilinéaire positive|positive]]"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] espace préhilbertien réel
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> Un **espace préhilbertien réel** est un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]], muni d'une [[forme bilinéaire]] [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]], [[forme bilinéaire définie|définie]] et [[forme bilinéaire positive|positive]].
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> $(E, \varphi)$ est un **espace préhilbertien réel** ssi :
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> - $E$ est un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]]
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> - $\varphi$ est une [[forme bilinéaire]] [[forme bilinéaire symétrique|]], [[forme bilinéaire définie|définie]] et [[forme bilinéaire positive|positive]]
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> - [[forme bilinéaire|bilinéaire]]
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> - [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]] : $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$
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> - [[forme bilinéaire définie|définie]] : $\varphi(x, x) = 0 \iff x = \vec{0}$
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> - [[forme bilinéaire positive|positive]] : $\varphi(x, x) \geq 0$
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^definition
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# Propriétés
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Soit $(E, \varphi)$ un espace préhilbertien réel
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- On appelle $\varphi$ le [[produit scalaire]] de cet espace
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- avec le produit scalaire, on peut définir l'orthogonalité
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> [!query] Sous-notes de `=this.file.link`
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> ```dataview
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> LIST title
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> FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
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> WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
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> WHERE file != this.file
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> SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up
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> ``` |